Dérivabilité sous le signe intégrale

Mathieu · January 2007

Bonjour,

Quels sont vos théorèmes pour montrer qu' une fonction définie par une intégrale est dérivable n fois ou de classe $C^n$ ?
En fait, j' aimerais savoir s' il faut que toutes les dérivées partielles admettent une hypothèse de domination ou seulement la derniere ? (car, dans mon cours et dans un bouquin il faut que toutes admettent une hypothèse de domination mais dans le livre monier pour prépa ils disent que la derniere suffit. Le problème c' est que dans ce cas on a pas affaire a des fonctions mesurables mais continues par morceaux)
Il me semble que si on a que la derniere hypothèse de domination (locale ou globale) pour des fonctions mesurables cela suffit, mais j' aimerais avoir confirmation.

Aleg · January 2007

Dans le "Monier" que j'ai sous les yeux (cours de maths, chez Dunod, tome 3 , analyse 3, 2ème année, page 221), chacune des dérivées partielles successives doit vérifier une hypothèse de domination (plus évidemment la continuité de la dernière dérivée pour avoir la classe $c^n$ et pas seulement la dérivabilité à l'ordre $n$).

En fait, c'est tout simplement le théorème de dérivation "simple" (= à l'ordre 1) qu'on applique successivement à chaque dérivée.

Mathieu · January 2007

Citant le théorème de mémoire, je suis allé chercher le bouquin, c' est Analyse MP Jean-Marie Monier 4eme édtion de j' integre

Page 219 le théoreme est le suivant:

$n \in \N^*$
$I$ intervalle

$\forall x \in A, F(x,.)$ est intégrable sur $I$
$F, \frac{\partial F}{\partial x}, ... ,\frac{\partial^n F}{\partial x^n}$ existent et sont continues par rapport à $x$ et continues par morceaux par rapport à $t$.
$\frac{\partial^n F}{\partial x^n}$ vérifie une hypothèse de domination locale sur $A \times I$

Alors les dérivées partielles jusqu' à l' ordre $n$ sont intégralbes sur $I$ et l' application qui à x associe $\int_I F (x,t) \dt$ est de classe $C^n$ et on peut permuter dérivée et intégrale pr obtenir la dérivée.

Ma question est la suivante: le théorème suivant est il vrai ?

$n \in \N^*$
$I$ intervalle

$\forall x \in A, F(x,.)$ est intégrable sur $I$
$F, \frac{\partial F}{\partial x}, ... ,\frac{\partial^n F}{\partial x^n}$ existent et sont continues par rapport à $x$ et mesurables par rapport à $t$.
$\frac{\partial^n F}{\partial x^n}$ vérifie une hypothèse de domination locale sur $A \times I$

Alors les dérivées partielles jusqu' à l' ordre $n$ sont intégralbes sur $I$ et l' application qui à x associe $\int_I F (x,t) \dt$ est de classe $C^n$ et on peut permuter dérivée et intégrale pr obtenir la dérivée.

Et le second:
$n \in \N^*$
$I$ intervalle

$\forall x \in A, F(x,.)$ est intégrable sur $I$
$F, \frac{\partial F}{\partial x}, ... ,\frac{\partial^n F}{\partial x^n}$ existent et sont mesurables par rapport à $t$.
$\frac{\partial^n F}{\partial x^n}$ vérifie une hypothèse de domination locale sur $A \times I$

Alors les dérivées partielles jusqu' à l' ordre $n$ sont intégralbes sur $I$ et l' application qui à x associe $\int_I F (x,t) \dt$ est dérivable $n$ fois et on peut permuter dérivée et intégrale pr obtenir la dérivée.

Mathieu · January 2007

Egalement, j' aimerais savoir si on peut retirer l' hypothèse de mesurabilité des dérivées partielles ?

Mathieu · January 2007

Personne ne sait ??

ryo · January 2007

je suis pas sur mais j'en doute, en effet comme le dit Aleg, pour démontrer ce truc, on applique le théorème de dérivabilité sous l'intégrale à chaque fonction dérivée et du coup, on a absolument besoin de l'hypothèse de mesurabilité des fonctions dérivées intermédiaires

ryo · January 2007

je suis con, dans ce que tu cites tes dérivées partielles sont continues donc elles sont fatalement mesurables

Mathieu · January 2007

Oui en effet.

Mais le théorème que je cite est dans le livre, et la démonstration est "on en déduit facilement" ...

ryo · January 2007

J'avais pas compris que tu voulais confirmation de tes théorèmes, j'en étais resté à l'hypothèse de mesurabilité que tu voulais enlever.

Pour le premier théorème que tu donnes (celui ou les dérivées partielles ne sont plus supposées continues par morceaux par rapport à $t$ mais seulement mesurable), à mon avis il n'y a pas de problème si tu regardes l'intégrale de Lebesgue, le continu par morceaux sert dans ton bouquin parce que ca doit etre l'intégrale de Riemann mais avec Lebesque, il n'y a pas besoin de ca. Par contre avec Riemann je sais pas du tout si ca marche (on doit en tout cas pouvoir affaiblir mais peut-etre pas jusqu'a seulement mesurable)

Pour le deuxième (où tu n'as plus continuité par rapport à $x$ de tes dérivées partielles), la je pense qu'il est encore bon (toujours pour Lebesgue) et de mémoire tu peux renforcer ta conclusion : ton intégrale finale est encore $C^n$, je n'en suis pas sur et je sais pas pourquoi mais il me semble avoir un souvenir d'un truc comme ca et pour Riemann je ne me prononce pas :S

Mais tout ca a besoin d'un avis plus rigoureux et éclairé que moi !

Quand au "on en déduit facilement" de ton bouquin, c'est assez souvent qu'on trouve ca dans les bouquins, il faut traduire par "j'ai pas envie de faire ce truc pénible", si ca se trouve il faut des calculs pénibles pour prouver ca mais l'auteur voulait pas se faire ch... (ou alors par manque de place, ca doit arriver aussi). Il y a des auteurs qui sont spécialistes de ce genre de trucs ( Monier je sais pas, je ne connais pas ses livres) et qui font "confiance" aux lecteurs pour s'y retrouver et combler les trous

Mathieu · February 2007

Personne ne sait finalement ? :S

gb · February 2007

Tout dépend en fait du cadre théorique dans lequel tu te places.

Un théorème énoncé et démontré en termes d'ntégration de Lebesgue sera en particulier vrai pour des fonctions intégrables au sens de Riemann, mais pas forcément démontrable dans la théorie de Riemann.

Mathieu · February 2007

Oui mais voilà, si ce théorème se démontre pour les intégrales de riemann comme corollaire pour les intégrales de lebesgue, je me demande pourquoi dans les livres d' intégrale de lebesgue, j' ai toujours trouvé que chaque dérivée devait avoir une hypothèse de domination, et pas la derniere comme dans ce livre monier pour prépa (théorie de Riemann donc).

gb · February 2007

Dans l'exemplaire du Monier que j'ai sous les yeux : {\it Analyse}, t. 3, édition de 1997, pp. 221-222, il est demandé la domination de $F$ et de {\bf TOUTES} les dérivées partielles.

Mathieu · February 2007

Dans mon exemplaire, page 217 et 219 de Jean Marie Monier Analyse MP 4eme édition seule la derniere est demandée...
C'est bien le analyse MP que tu as ?

gb · February 2007

J'ai le tome 3 d'Analyse MP-PSI-PC-PT, mais la deuxième édition, visiblement, il n'y a pas le même énoncé.
Ce que je ne vois pas, avec l'énoncé que tu donnes le ven 26 janvier 2007 à 21:09:10, c'est comment il se fait que les dérivées intermédiaires soient intégrables.

Mathieu · February 2007

Aucune idée, c' est juste écrit par récurrence ...

Aleg · February 2007

gb, Mathieu a manifestement une édition beaucoup plus récente du Monier que la nôtre.

Mais tu as raison : l'énoncé qu'il nous donne (en supposant que Mathieu interprète correctement à partir de celui de son édition) est bien mystérieux.
Peut-être y-a-t'il une hypothèse implicite (genre : "intervalle compact" ?) qui fournirait l'explication ?

Pour ma part, je répète que le théorème de dérivation $n$-ième sous le signe $\int $ n'est que l'itération du théorème de dérivation à l'ordre 1 pour chacune des $n-1$ premières dérivées successives.

Longjing · February 2007

Chez moi {\it Analyse}, t. 3, troisième édition,2000, p219, ce sont toutes les dérivéees partielles qui doivent être dominées ; ce qui me paraît logique.
Et je ne vois pas, à brûle-pourpoint, comment la récurrence peut fonctionner avec pour seules conditions de domination $F$ et la dernière dérivée.

Mathieu · February 2007

Rassurez moi à 20 ans je ne suis pas encore devenu gaga ...

$I$ et $A$ désignent un intervalle de $R$

5681

gb · February 2007

Mathieu,

Nous n'avons jamais pensé que tu sois déjà rattrapé par Alzheimer.
D'autre part, j'ai la plus grande estime pour Jean-Marie Monier, et je ne voudrais pas lui donner tort trop rapidement.

Pour moi, le problème est dans l'existence des $\int_I \frac{\partial^k f}{\partial x^k}$.

Les hypothèses : "pour tout $x \in A$, $F(x,\cdot)$ est intégrable sur $I$" et "$\frac{\partial^n f}{\partial x^n}$ vérifie une hypothèse de domination sur $A \times I$" assurent l'existence de ladite intégrale pour $k=0$ et $k=n$, mais d'où sort l'intégrabilité des dérivées intermédiaires.

En saisissant les hypothèses, mon estime pour Jean-Marie en prend un coup ; comme je le dis toujours : $\frac{\partial^n f}{\partial x^n}$ ne vérifie rien du tout la pauvre dérivée partielle en serait bien incapable), c'est le pauvre mathématicien qui vérifie que $\frac{\partial^n f}{\partial x^n}$ satisfait à l'hypothèse de domination.

Pour en revenir à ta question, comment démontre-t-il la première assertion de son théorème "pour tout $x\in A$, $\frac{\partial f}{\partial x}(,\dot)$, \ldots, $\frac{\partial^n f}{\partial x^n}(x,\cdot)$, sont intégrables sur $I$" ?

Longjing · February 2007

Ah, il suppose $F(x,.)$ intégrable ; (ce qui revient à une Hypothèse de Domination pour $F$).

Mais alors pourquoi donc a-t'on besoin de la domination de $\frac{\partial^n F}{\partial x^n}$ ?
Et pourquoi ça marche, sans avoir l'intégrabilité (ou la domination) de $\frac{\partial F}{\partial x}$ pour que la récurrence se lance au rang $1$ ?

Désolé Mathieu, je n'apporte que des questions et par une seule réponse.

Mathieu · February 2007

C' est le hic, c' est écrit juste au dessus de corollaire: "une récurrence permet d'obtenir le résultat suivant"

Pour $n = 1$ on a l' hypothese de domination pour la dérivée. Et pour la récurrence on ne peut pas appliquer le théorème pour la dérivée ?

Aleg · February 2007

Mathieu,
non, tu n'es pas gaga, et j'ai d'ailleurs supposé que tu interprétais correctement l'énoncé que tu avais sous les yeux.

Deux remarques :
1) s'agissant d'un corollaire, je suppose que le théorème dont il résulte est celui de dérivation à l'ordre 1. Vérifie une nouvelle fois que, dans ce théorème, l'intervalle $I$ est un intervalle quelconque (mais, bon, a priori, je suppose que tu as déjà vérifié cela).
2) dans les "vieilles" éditions, c'est exactement le même résultat.. sauf que, pour le troisième point des hypothèses, ce sont {\it toutes} les dérivées successives qui vérifient (HD).

Au final, s'il n'y a pas d'erreur de ta part, je penche pour une coquille dans le bouquin (tu sais, les ré-éditions, les auteurs n'aiment pas trop ça en général car il faut recommencer tout le boulot, alors la re-lecture est parfois faite en diagonale..).

gb · February 2007

Longjing> Tu as été à bonne école, mais tu as encore beaucoup à apprendre.

Les vieilles éditions du Monier ont un énoncé avec des hypothèses très fortes. La domination des dérivées partielles successives assure l'intégrabilité de tout ce dont on a besoin. Une fois que l'on sait dériver une fois sous l'intégrale, on peut recommencer $n$ fois si bon nous semble.

La dernière édition est conforme au programme de 2004. L'énoncé du théorème a changé.
Pour dériver une fois, on suppose toujours la domination de la dérivée partielle première, mais le programme a changé l'hypothèse de domination de $F$ par la condition d'intégrabilité de l'application partielle en $t$, ce qui est un peu moins contraignant.

Par contre, là où l'ancien programme préconisait une extension aux dérivées successives, le nouveau programme est désormais muet. Le taupin lambda doit donc établir par récurrence, {\it dans chaque cas particulier} l'existence des dérivées successives. Du coup, Jean-Marie Monier a inventé cette version du théorème, sans aucune condition sur les dérivées intermédiaires, ce qui me gêne beaucoup, sauf à voir sa preuve.

Bien amicalement et confraternellement.

PS : Orian Le Sobre s'améliore.

Aleg · February 2007

gb :
"{\it Pour dériver une fois, on suppose toujours la domination de la dérivée partielle première, mais le programme a changé l'hypothèse de domination de $ F$ par la condition d'intégrabilité de l'application partielle en $t$, ce qui est un peu moins contraignant.}

Soit, mais il est quand même bien connu que la seule intégrabilité de la dérivée (ou des dérivées successives) ne suffit pas pour dériver (une ou plusieurs fois) sous l'intégrale.

Donc, gb, à mon tour de partager ton inquiétude quant à cet énoncé.

Longjing · February 2007

gb écrivait:
Longjing> Tu as été à bonne école, mais tu as encore beaucoup à apprendre.
Lourde tâche pour une seule existence

gb>Pour dériver une fois, on suppose toujours la domination de la dérivée partielle première,

Oui c'est justement cette hypothèse que je cherche ; ne vaudrait-il pas mieux une HD sur $\frac{\partial F}{\partial x}$ plutôt que sur $\frac{\partial^n F}{\partial x^n}$ ?

Je dis ça, mais comme tu le soulignes, il me reste beaucouup de choses à apprendre.

gb>PS : Orian s'améliore.
ça me rassure un peu ; la cuvéeRoche Arnaud à venir (en Sup actuellement) est meilleure

gb · February 2007

Longjing> Quand je disais que tu as encore beaucoup de choses à apprendre, ce n'est pas du point de vue mathématiques, je ne penses pas que ce théorème te dépasse. C'était du point de vue humain. Les bouquins de Monier ne sont pas des cours de mathématiques écrit par un auteur qui présente les choses sous le jour qui lui paraît le plus intéressant, mais sous la contrainte de programmes qu'il faut avoir décortiqué pour comprendre les tenants et les aboutissants des énoncés présentés.

En effet, et je suis content qu'Aleg soit de mon avis, pour dériver une première fois, on a, en principe, besoin d'une hypothèse de domination (en principe, car en pratique, on peut être confronté à un cas particulier où l'on pourra dériver sous l'intégrale sans domination). Partant de là, pour recommencer, il faudra une domination de la dérivée seconde, puis de la dérivée troisième...

Ça fait un moment que je cherche un contrexemple dans lequel, sans domination de $\dfrac{\partial f}{\partial x}$, mais avec domination de $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, on n'ait pas la dérivation sous l'intégrale, mais je n'en trouve pas ; en fait, dans mes exemples, il y a toujours des dominations sur tout compact, et le théorème fonctionne.

J'en arrive à me demander si Monier n'a pas raison, d'autant plus que je lui accorde une grande confiance, bien que {\it errare humanum est}.

Il est possible que n'ayant plus de théorème officiel pour les dérivées successives, il en ait bâti un à partir de la dérivée première, sans regarder en détail si sa récurrence fonctionnait correctement.

Longjing · February 2007

gb>Les bouquins de Monier ne sont pas des cours de mathématiques écrit par un auteur qui présente les choses sous le jour qui lui paraît le plus intéressant, mais sous la contrainte de programmes qu'il faut avoir décortiqué pour comprendre les tenants et les aboutissants des énoncés présentés.

Effectivement, j'ai beaucoup de choses à apprendre (et pas seulement en mathématiques)

Mais rassurez-moi tous, si $\frac{\partial f}{\partial x}$ est dominée en lieu et place de $\frac{\partial^n f}{\partial x^n}$, ça marche bien, non ?

Pour ce qui est de savoir si effectivement la condition de domination $\frac{\partial^n f}{\partial x^n}$ est suffisante, cela me dépasse, je l'avoue ; mes tentatives de contre-exemples sont merdeuses au possible.

gb · February 2007

Pour moi il faut que toutes les dérivées, de $\frac{\partial f}{\partial x}$ à $\frac{\partial^n f}{\partial x^n}$.

L'étape initiale (la seule en fait) est : pour dériver $\phi(x) = \int_I F(x,t)\,dt$ en $\phi'(x) = \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,dt$, j'ai besoin de dominer (je n'ai pas changé) $\frac{\partial f}{\partial x}$.
Donc, pour dériver $\phi'(x) = \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,dt$ en $\phi''(x) = \int_I \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,t)\,dt$, j'ai besoin de dominer $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, puis, pour dériver en $\phi'''(x) = \int_I \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}(x,t)\,dt$, j'ai besoin de dominer $\frac{\partial^3 f}{\partial x^3}$, puis ...

Pour bâtir une récurrence, il me faut dominer (je n'ai peur de rien) toutes les dérivées.

Du moins c'est ma vision de la preuve du théorème.

Longjing · February 2007

Longjing, autocitation> Mais rassurez-moi tous, si $\frac{\partial f}{\partial x}$ est dominée en lieu et place de $\frac{\partial^n f}{\partial x^n}$, ça marche bien, non ?

Non,évidemment. Allez, au lit, ça vaudra mieux.

-début de boutade- Monsieur Monier, -que j'ai énorménent apprécié lorsque j'ai suivi ses cours en prépa agreg-,si vous nous lisez, merci d'éviter des phrases "à la Perrin" (une récurrence immédiate...) -fin de boutade-

De mémoire, la remarque anodine et visuellement évidente :
"Une partie $A$ de $E$ peut être connexe sans être connexe par arcs, ce que le lecteur pourra aisément vérifier en considérant la réunion de la courbe polaire $\rho =e^{\frac{1}{\theta}},\, \theta\in[\frac{\pi}{2};+\infty[$ et du cercle trigonométrique"
m'avait torturé assez longuement lorsque j'ai voulu le vérifier "aisément" par une démonstration rigoureuse.

Mathieu · February 2007

En fait, lorsque j' essaie de trouver un contre exemple tel que la dérivée est "de plus en plus grande", je bloque a cause de la derniere dérivée qui admet une HD.

kilébo · February 2007

Bonsoir,

Permettez-moi d'apporter une modeste contribution dans la mesure où je ne maitrise pas le sujet mais je vais donner simplement mes impressions.

Je ne partage pas vos certitudes sur le fait que le théorème à l'ordre n se démontre comme une récurrence du théorème à l'ordre 1.

Entendez par là que pour moi, il n'est pas exclu de voir le problème sous un autre angle.

N'étant pas certain de mes dires, comment j'en arrive à le croire ?

Et bien par ces remarques :
- Je rappelle à toutes fins utiles que le théorème à l'ordre 1 assure la continuité alors même qu'il n'est déjà pas une application du théorème de continuité mais, tout comme lui, une application du théorème de Lebesgue. Et pour cela on utilise une fonction auxiliaire et et le théorème des accroissements finis.
- J'en déduis que, très certainement, par une fonction auxiliaire bien choisie on doit pouvoir utiliser la dérivée partielle n-ième uniquement et cela grâce à des formules du type de Taylor.

Comme indiquée au départ tout cela n'est qu'impression mais mérite d'introduire le doute...

gb · February 2007

kilébo> Je ne doute effectivement pas qu'il existe une autre preuve que celle que j'entrevois.
Mais j'ai quand même un problème.

Dans le théorème de dérivation, on a une hypothèse d'intégrabilité de $F(x,\cdot)$, et une hypothèse de domination de la dérivée partielle $\dfrac{\partial F}{\partial x}$, ce qui assure déjà l'existence de $\phi(x) = \int_I F(x,t)\,dt$ et $\psi(x) = \int_I \dfrac{\partial F}{\partial x}(x,t)\,dt$. Montrer que $\psi$ est la dérivée de $\phi$ n'est effectivement qu'affaire de convergence dominée ; mais la domination sert déjà à prouver que $\psi$ est définie.

Dans le corollaire, je ne vois pas ce qui peut assurer l'existence des intégrales intermédiaires $\int_I \dfrac{\partial^k F}{\partial x^k}(x,t)\,dt$ dont on aura besoin dans la fonction auxilliaire, à moins qu'il n'y ait une méthode permettant de passer directement par-dessus...

gb · February 2007

Complément au message précédent :

La première des assertions du théorème dans la version de Jean-Marie Monier est d'ailleurs :
"pour tout $x \in A$, $\dfrac{\partial F}{\partial x}(x,\cdot)$, \ldots, $\dfrac{\partial^n F}{\partial x^n}(x,\cdot)$, sont intégrables."

Quelle est la preuve de ce fait ?

Mathieu · February 2007

Peut être faut il généraliser la preuve pour le théoreme de dérivabilité

Aleg · February 2007

{\bf Si} on déplace la phrase {\it "pour tout $x \in A$, $\dfrac{\partial F}{\partial x}(x,\cdot)$, \ldots, $\dfrac{\partial^n F}{\partial x^n}(x,\cdot)$, sont intégrables."} de la conclusion vers les {\bf hypothèses}, alors le théorème est clair, avec une seule HD sur la dernière dérivée, puisqu'en fait les HD sur les dérivées intermédiaires ne servent qu'à assurer l'existence des intégrales intermédiaires $\int_I \dfrac{\partial^k F}{\partial x^k}(x,t)\,dt$.

(mais, bon, je crois que je ne fais que répèter plus ou moins ce que gb a déjà dit. Dans l'état actuel de la rédaction de ce théorème, on ne voit pas ce qui assure l'existence des intégrales intermédiaires).

gb · February 2007

Aleg,

encore une fois, nous sommes d'accord.

gb · February 2007

J'ai trouvé la réponse dans les {\it Précis} de Bréal :

Si $\dfrac{\partial F}{\partial x}$ est dominée sur $A \times I$, alors $F$ est dominée sur $[a,b] \times I$ pour tout sous-segment de $[a,b]$ de $A$.

bs · February 2007

Bonjour,

Rigolo car déjà évoqué au mois d'août ,ici:
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,315923,315923#msg-315923}

Aleg · February 2007

gb,
je ne comprends pas ton argument : la domination de $F$ sur tout $[a,b] \times I$ ne fournit pas son intégrabilité sur $A$, or il me semble que c'est là le problème.

gb · February 2007

On conserve toujours l'hypothèse : $t \mapsto F(x,t)$ est intégrable pour tout $x$.

La remarque ne sert qu'à faire remonter l'hypothèse de domination de la dérivée $n$\up{e} aux dérivées précédentes.

C'est une amélioration par rapport à l'"immédiateté" de la récurrence selon Monier, mais en essayant de justifier proprement ce qui est fait chez Bréal, on retombe sur le problème qu'il faut supposer toutes les dérivées partielles intégrables.

Aleg · February 2007

{\it .. on retombe sur le problème qu'il faut supposer toutes les dérivées partielles intégrables} : je ne te le fais pas dire.

gb · February 2007

En fait la domination prouve l'intégrabilité, mais le problème, c'est que pour établir la domination, on a besoin de l'intégrabilité, et on tourne en rond.

bisam · February 2007

Je viens de penser à un truc : ne pourrait-on pas utiliser les inégalités de Kolmogorov pour dominer les dérivées partielles intermédiaires ?

Je veux parler des inégalités énoncées ci-dessous :
On note $M_k=\sup|f^{(k)}|$.
Si $f$ est de classe $C^n$, et que $M_0$ et $M_n$ sont finis, alors, pour tout $m$ tel que $1\leq m\leq n$, et $k$ tel que $0\leq k\leq m$, on a $$M_k\leq 2^{\frac{1}{2}k(m-k)}M_0^{1-\frac{k}{m}}M_m^{\frac{k}{m}}$$

Il paraît qu'on trouve la démonstration de ces inégalités dans le Gourdon d'analyse. Pour ma part, je n'ai fait que les citer de mémoire... Et je ne suis même pas sûr que cela puisse s'appliquer ici.

bisam · February 2007

Et ben alors ?
3 pages pour répéter qu'on n'est pas sûr que les hypothèses de Monier sont suffisantes... et quand j'arrive pour proposer une méthode qui pourrait bien prouver que Monier a raison, il n'y a plus personne ?

Vous me direz que je n'ai qu'à faire toute la démo tout seul... et vous auriez raison s'il n'y avait pas un hic : je ne connais pas la démonstration de base. Je pourrais difficilement l'adapter !

Si quelqu'un pouvait vérifier :
(1) que les inégalités de Kolmogorov peuvent s'appliquer dans le cas qui nous intéresse
(2) qu'en les appliquant, on arrive à prouver que Monier a raison
j'en serais ravi... tout comme ceux qui ont suivi la discussion jusqu'ici.

gb · February 2007

Les inégalités de Kolmogorov consistent à majorer les dérivées par des constantes, ce qui ne peut servir dans le cas qui nous occupe. Il faut dominer, c.à.d. majorer par des fonctions intégrables.

bisam · February 2007

Je sais bien que ce sont des constantes pour des fonctions d'une seule variable... mais ici on a des fonctions de 2 variables et si on ne prend le sup que sur l'une des 2 (ici x), on doit obtenir une fonction de l'autre variable (ici t).
En fait, le problème se situe plutôt dans le fait que les fonctions de t qui dominent la dérivée partielle n-ième et la fonction F sont mises à une certaine puissance... et le résultat n'est peut-être plus intégrable.

gb · February 2007

Autre problème, on ne dispose que d'une majoration de la dérivée $n$\up{e}, mais pas de la fonction de départ : point de $M_0$, adieu Kolmogorov.

bisam · February 2007

Si F est intégrable, elle est dominée par son sup par rapport à la variable x sur tout compact... et revoilà Kolmogorov.

gb · February 2007

Ce sup n'est peut-être pas intégrable, il ne sert à rien dans la domination.

bisam · February 2007

Mais si, il est intégrable puisqu'il est égal à l'une des fonctions t->F(x0,t).

Je veux bien croire que mon idée est farfelue... mais je l'avais tout de même un tant soit peu mise à l'épreuve.

Le problème qui reste est, comme je l'ai dit que la majoration obtenue par Kolmogorov n'est pas clairement intégrable... et pourrait peut-être ne pas l'être, ce qui, bien entendu, mettrait tout par terre. Mais en attendant, j'ai l'impression que ma suggestion tient toujours la route.

Dérivabilité sous le signe intégrale

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 10