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Archange · January 2007

Comment démontre-t-on que:
lim (1-1/n)^n=1/e?

Alexandre Vandeville · January 2007

Bonsoir,
tout depend du niveau mais sinon voici une manière:
(1-1/n)^n= exp(n*ln(1-1/n))~1/e

Aleg · January 2007

j'écrirais plutôt
$$\ln(1-\frac{1}{n})\sim -\frac{1}{n}$$
donc $n\,\ln(1-\frac{1}{n})$ tend vers $-1$ et, par continuité de l'exponentielle, $(1-\frac{1}{n})^n=e^{n\,\ln(1-\frac{1}{n})}$ tend vers $1/e$.

Alain Debreil · January 2007

Message déplacé.
Alain

Réponse
Envoyé par: Archange (--.abo.wanadoo.fr)
Date: mar 9 janvier 2007 21:03:24

Il me semblait que les équivalences ne passaient pas aux exponentielles.

gb0 · January 2007

Effectivement, de $u \sim v$, tu ne peux pas déduire $e^u \sim e^v$.
C'est pourquoi la présentation d'Aleg est préférable.
Toutefois le résultat d'Alexandre Vandeville est exact, mais peut effectivement être mal interprété, puisque toutes les justifications ne sont pas données.

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