Polynômes à coefficients polynomiaux
dans Analyse
Bonjour et joyeuses fêtes à tous!
Voici une partie de l'énoncé qui me pose problème, ceci est seulement la première question alors j'aimerais de l'aide pour au moins bien démarrer !
1) Soit P(X) $\in \C$[X] et $\alpha (X) \in \C [X]$.
Trouver un pôlynôme Q(X) tel que x est une racine de Q(X) si et seulement si $\alpha$ (x) est une racine de P(X).
Voilà ce que j'ai trouvé, le problème étant que je n'arrive pas au bout de la question car les calculs sont bien trop longs, du coup je pense que ce n'est peut-être pas la méthode adéquate.
Posons : P(X)= $\sum_{k=0}^{p} a_k X^k$ , Q(X)= $\sum_{k=0}^{q} b_k X^k$ et $\alpha$(X)= $\sum_{k=0}^{n} c_k X^k$ avec p, q et n des entiers strictement positifs (donc $a_p \neq 0 , b_q \neq 0 et c_n \neq 0$).
On cherche Q(X) tel que : x racine de Q(X) $\Leftrightarrow \alpha$(x) racine de P(X).
Or : $\alpha$(x) racine de P(X) $\Leftrightarrow$ P($\alpha$(x)) = 0 $\Leftrightarrow$ P($\sum_{k=0}^{n} c_k X^k$) = 0 (1)
et : x racine de Q(X) $\Leftrightarrow$ Q(x)=0
Alors là ça fait des heures que je tourne en rond à essayer d'écrire (1) de manières différentes avec des ... , avec des sommes et des combinaisons afin de retrouver les coefficients de Q(x) ($b_0, b_1,b_2,...,b_q$), mais j'ai trouvé que $b_0$
(J'ai trouvé : $b_0$ = $\sum_{i=0}^{p} a_i (c_0)^i$ )
Merci
Voici une partie de l'énoncé qui me pose problème, ceci est seulement la première question alors j'aimerais de l'aide pour au moins bien démarrer !
1) Soit P(X) $\in \C$[X] et $\alpha (X) \in \C [X]$.
Trouver un pôlynôme Q(X) tel que x est une racine de Q(X) si et seulement si $\alpha$ (x) est une racine de P(X).
Voilà ce que j'ai trouvé, le problème étant que je n'arrive pas au bout de la question car les calculs sont bien trop longs, du coup je pense que ce n'est peut-être pas la méthode adéquate.
Posons : P(X)= $\sum_{k=0}^{p} a_k X^k$ , Q(X)= $\sum_{k=0}^{q} b_k X^k$ et $\alpha$(X)= $\sum_{k=0}^{n} c_k X^k$ avec p, q et n des entiers strictement positifs (donc $a_p \neq 0 , b_q \neq 0 et c_n \neq 0$).
On cherche Q(X) tel que : x racine de Q(X) $\Leftrightarrow \alpha$(x) racine de P(X).
Or : $\alpha$(x) racine de P(X) $\Leftrightarrow$ P($\alpha$(x)) = 0 $\Leftrightarrow$ P($\sum_{k=0}^{n} c_k X^k$) = 0 (1)
et : x racine de Q(X) $\Leftrightarrow$ Q(x)=0
Alors là ça fait des heures que je tourne en rond à essayer d'écrire (1) de manières différentes avec des ... , avec des sommes et des combinaisons afin de retrouver les coefficients de Q(x) ($b_0, b_1,b_2,...,b_q$), mais j'ai trouvé que $b_0$
(J'ai trouvé : $b_0$ = $\sum_{i=0}^{p} a_i (c_0)^i$ )
Merci
Réponses
-
Bonjour,
et si tu posais $Q=Po\alpha$. -
Mais je ne comprends pas ce qu'est $P_o$, ni pourquoi on aurait le droit de poser cette égalité.
-
Ah je viens de comprendre que c'était P rond $\alpha$ .
Mais alors j'ai fait tout ça pour rien si je comprends bien, ma réponse est donc que si j'ai Q=Po$\alpha$ alors l'équivalence est vérifiée donc c'est bien le Q cherché ?? -
Message déplacé.
Alain
Bonsoir à tous,
J'ai un gros dm sur les polynômes à faire et voici l'une des questions que j'ai du mal à justifier.
Soit $P(X) \in \mathbb{C}[X]$ . Soit $ \alpha,\beta \in \mathbb{C}$ et avec $ \alpha \neq 0$.
a) Trouver un polynôme $Q(X)$ tel que $x$ est une racine de $P(X)$ si et seulement si $x+ \beta$ est une racine de $Q(X)$.
b) Trouver un polynôme $Q(X)$ tel que $x$ est une racine de $P(X)$ si et seulement si $ \alpha x$ est une racine de $Q(X)$.
==> Voilà donc ce que j'ai fait :
a) Soit $Q(X) \in \mathbb{C}[X]$.
On cherche $Q(X)$ tel que : $x$ racine de $P(X) \Leftrightarrow x + \beta$ racine de $Q(X)$.
Or : $x$ racine de $P(X) \Leftrightarrow P(x) = 0 \Leftrightarrow Q(x + \beta) = 0 \Leftrightarrow Q(x) = -Q( \beta)$.
Mais la dernière équivalence n'est vraie que si $Q$ est une application linéaire et je ne sais pas comment justifier ça.
Dois-je dire que $ \mathbb{C}[X]$ est un espace vectoriel et qu'il est donc stable par combinaison linéaire ?
(En même temps je suis pas sûre que ça justifie la linéarité de $Q$).
Pour le b) j'obtiens $Q(x)=0$ mais j'ai le même problème pour justifier.
Merci -
Désolé j'avais perdu le premier message j'allais le déplacer après avoir vu le lien mais c'est dejà fait. Merci
Je n'ai pas trop compris ce qu'on m'a répondu. J'aimerais savoir :
Ai-je le droit d'écrire : Q(x +$\beta$) = 0 $\Leftrightarrow$ Q(x) + Q($ \beta)$ , et si oui pourquoi ?
Merci -
Bonsoir MamzelleBulle
Que peux-tu dire du polynôme $Q(X)=P(X-\beta)$
Si $x$ est racine de $P$, càd $P(x)=0$
Si tu prends $X=x+\beta$ tu obtiens $0=P(x)=Q(x+\beta)$ ...
Et pareil pour $Q(X)=P\big(\frac{1}{\alpha}X\big)$
Sinon pour répondre à ta question,
>
$Q(x+\beta)=Q(x)+Q(\beta)$ ce n'est vrai que pour les polynômes de degré $\leq 1$, sauf valeurs particulières de $x, \beta$.
Quand tu te poses des questions semblables, essaie de trouver un contre-exemple.
Ici prends $Q(X)=X^2$, alors
$Q(x+\beta)=(x+\beta)^2 = x^2+\beta^2+2x\beta = Q(x)+Q(\beta)+2x\beta \neq Q(x)+Q(\beta)$ en général.
Alain -
Bonsoir,
Voici une autre des questions du dm qui me pose problème :
4) Soit $P(X) = \sum_{k=0}^{p} a_k X^k \in \C$ un polynôme de degré p (p>0 et donc $a_p \neq 0$) et $Q(X) = \sum_{k=0}^{q} b_k X^k \in \C$ un polynôme de degré q (q>0 et donc $a_q \neq 0$).
On note R(P(X),Q(X)) le déterminant de la matrice carrée de taille p+q suivante :
(Trop de pointillés j'arrive pas à l'écrire en LaTeX mais elle n'est pas très utile de toute façon.)
a) Montrer que P(X) et Q(X) ont un facteur commun de degré plus grand ou égal à 1 si et seulement si ils ont au moins une racine commune.
b) Montrer que P(X) et Q(X) ont un facteur commun de degré plus grand ou égal à 1 si et seulement si il existe des polynômes complexes $P_1(X) , Q_1(X)$ tels que deg($P_1(X)$) < deg(P(X)) , deg($Q_1(X)$) < deg(Q(X)) et $Q_1(X) P(X) - P_1(X) Q(X) = 0$.
(Indication pour ($\Leftarrow$) : étudier le nombre de racines communes de $Q_1$ et de Q.)
c) En déduire que P(X) et Q(X) ont un facteur commun de degré plus grand ou égal à 1 si et seulement si $P(X), XP(X), ..., X^(q-1)P(X), Q(X), XQ(X), ..., X^(p-1)Q(X)$ est une famille liée. ( (p-1) et (q-1) sont des indices mais ça bug!)
d) En déduire que P(X) et Q(X) ont au moins une racine commune si et seulement si R(P(X), Q(X)) = 0.
Voilà pour l'énoncé.
Voilà ce que j'ai fait car je suis vraiment pas sûre que ce soit extrémement rigoureux.
a)
($\Rightarrow$) Soit $\alpha_k$, k racines communes à P et Q avec i un entier strictement positif , et tel que k -
J'aurais aimé avoir une réponse cette année ...
N'y aurait-il pas quelques problèmes sur le forum : depuis le forum général ce post a déjà eu 7 réponses mais depuis le forum d'Analyse il en a 0 ???
Du coup j'ai peur que ça marche pas alors je tente de voir si on peut encore poster parceque j'ai vraiment besoin d'aide car je passe toutes les vacances au Sénégal et qu'il n'y a pas vraiment de livres, et encore moins de livres de maths, du coup je n'ai qu'internet pour faire avancer ce dm (et ma tête bien sûr mais avec le soleil elle surchauffe vite lol).
Merci -
J'aurai trop de mal à écrire tout en Latex, mais je connais ce problème. Il n'est pas si compliqué, il faut juste bien voir comment ça tourne. Ce que je te propose c'est de trouver un site qui traite du déterminant de Sylvester (c'est le déterminant de la matrice qui avait trop de pointillés pour l'écrire en Latex...). Et là tu auras ta réponse!
-
Et je pense que tu te compliques trop la vie! Ne t'occupe pas de la multiplicité de l'éventuelle racine commune.
Si P et Q ont une racine commune, que l'on note a, alors on peut écrire :
P=(X-a)*P1(X) et Q=(X-a)*Q1.
Peu importe que a soit racine ou pas de P1 ou Q1.
Ainsi : Q1*P - P1*Q=? Et justement, quel est le degré de P1? Celui de Q1?
Ensuite : si tu écris Q1 comme somme de monômes (akX^k) et pareil pour P1, tu montres que ta famille est liée. Or si tu écris, justement, l matrice de cette famille dans la base canonique (je parle de 1,X,X^2, ...), cette matrice n'est pas inversible (pourquoi ?), donc son déterminant, qui vaut justement R(P,Q), (et que l'on appelle déterminant de Sylvester de P et Q, ou encore discriminant de P et Q), est nul !!!
Une jolie application pour toi : prend un polynôme P du second egré, et calcule le déterminant de Sylvester R(P,P'). Tu montres que P a une racine double si et seulement si un critère que tu connais bien est vérifié !!! ;-)
En espérant t'avoir aidé. Et bonnes vacances sous le beau soleil Sénégalais!! -
Merci bien pour ces pistes, je vais me documenter sur le déterminant de Sylvester ça m'aidera sûrement et je vais essayer aussi de ne pas trop compliquer les choses...
Merci Victor-Emmanuel et bonne vacances à toi aussi
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Bonjour!
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