xmaxima ...

sin(x)<0.5 peut se traduire directement en inégalités sur x.

ptet que ça marchera mieux, même si je ne connais pas cette xmaxima

Bonsoir Massyfr

As-tu vraiment besoin de xmaxima (ou de tout autre logiciel) pour déterminer l'ensemble des x tels que sin(1/x)<1/2 ?
Comme le suggère LePoulpe, tu détermines les intervalles contenant les y tels que sin(y)<1/2, puis tu transformes ces intervalles par y --> 1/x.
Bien évidemment il va y avoir des problèmes pour x=0 où tu auras ton point de discontinuité.

Alain

Bonjour,

au voisinage de 0, ta fonction ne peut pas être représentée. Elle oscille entre -1 et 1 sur des demi-périodes de plus en plus courtes. Cependant, elle est continue partout, sauf en 0, puisque, par composition, $\frac{1}{x}$ tend vaer $+\infty$ ou $-\infty$ suivant si tu es en $0^+$ ou $0^-$.

Et comme sinus n'admet pas de limite à l'infini (tu as dû le démontrer en cours...) cela permet d'affirmer que $sin(\frac{1}{x})$ n'en admet pas non plus.

Dès lors, inutile d'espérer un quelconque prolongement par continuité.

Il n'en va pas de même pour $x.sin(\frac{1}{x})$ qui, elle, est prolongeable par continuité en $0$, car les limites à gauche et à droite en $0$ sont les mêmes (un petit théorème des gendarmes permet de conclure).

Par contre, cette dernière, continue en ajoutant $f(0)=0$, ne peut être dérivable car les nombres dérivés à droite et à gauche ne sont pas définis.

On dispose donc d'une fonction continue mais non dérivable. On peut faire mieux :

Soit $g(x)=x^2.sin(\frac{1}{x})$.

Cette fonction est continue, dérivable, y compris en zéro, mais sa dérivée, elle, n'est pas continue en $0$.

voir le lien très didactique :
\lien{http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc4/deriveP.html}