équivalent de suite

brownian · December 2006

on considère la suite de réels strictement positifs définie par $u_0>0$ et $$\forall n\in\N\qquad u_n=u_{n+1}+u_{n+1}^2$$
la suite converge bien vers 0 mais comment en trouver un équivalent?

Laotseu0 · December 2006

Déjà $u_n\sim u_{n+1}$ car $u_n\to 0$ et donc $u_{n+1}^2\in o(u_{n+1})$. Ensuite on en déduit que $\frac{1}{u_{n+1}}-\frac{1}{u_n}\to 1$ puis par Cesaro que $\frac{1}{u_n}\sim n$ et donc que $u_n\sim \frac{1}{n}$.
Laotseu.

Guego · December 2006

C'est moi, ou cette suite n'est pas bien définie ? Ce ne serait pas plutôt $u_{n+1} = u_n + u_n^2$ ?

Le problème c'est que, dans ce cas, la suite est croissante et ne converge donc pas vers 0.

Gilles Benson0 · December 2006

pour $ u_{n+1} = u_n + u_n^2$

si $u_0 > 0$, la suite est strictement croissante donc a du mal à converger vers 0; je suggère $u_0 < 0$.

pour $\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}\qquad u_n=u_{n+1}+u_{n+1}^2$

$u_{n+1} - u_n = - u_{n+1}^2$ donc la suite décroit et tout va bien même si $(u_n)$ est définie implicitement.

Utilisateur anonyme · December 2006

.

bs1 · December 2006

Bonjour,

Il est vrai que c'est un peu déroutant de voir $u_n= f(u_{n+1})$.

Guego, peut-être penses-tu à la suite $u_{n+1}=u_n-u_n^2 $ avec:$0

équivalent de suite

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