Bonjour, j'aurais une petite question à poser: Est ce que toutes les fonctions affines sont à la fois convexes et concaves? Et est ce que ce sont les seules fonctions qui soit et convexes et concaves? Merci
Lydie, la réponse à tes deux questions est oui.
$f$ convexe $\Leftrightarrow$ $-f$ concave,
donc (sur un intervalle) $f$ est à la fois convexe et concave ssi $f$ est affine.
Pour détailler un peu la réponse d'Aleg : si $f$ est affine, alors on a carrément l'égalité $f(\lambda x + (1-\lambda)y) = \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y)$, facile à montrer en écrvant $f(x)=ax+b$. Donc le membre de gauche est à la fois $\leq$ et $\geq$ au membre de droite et donc la fonction $f$ est convexe et concave. Réciproquement, si on suppose que $f$ est à la fois convexe et concave, l'égalité ci-dessus est vérifiée, et l'idée est de la particulariser pour certaines valeurs de $x,y$ et $\lambda$ pour trouver des candidats pour $a$ et $b$.
jean lismonde : si, elle est à la fois convexe et concave, de même que 0 est à la fois positif et négatif. Pour être convexe ou concave, c'est une égalité large qu'on souhaite (de même que pour être positif ou négatif).
lorsque on raisonne avec "inférieur ou égal" ou "supérieur ou égal"
c'est-à-dire avec les inégalités au sens large on perd clarté, rigueur, simplicité et précision mathématiques
dire par exemple qu'une fonction est croissante lorsque la dérivée est positive ou nulle c'est admettre qu'une route est montante même lorsqu'elle est plate
on en viendra avec de telles définitions à dire qu'une voiture avance même lorsqu'elle est à l'arrêt
Je ne suis pas d'accord avec la position de Jean Lismonde.
Il peut s'avérer très utile de caractériser les fcts affines commes les fcts à la fois convexes et concaves, dans le sens où, si on arrive à montrer qu'une fct est convexe et concave (ie que la fct et son opposée {\bf possèdent} une certaine propriété) alors on est assuré qu'elle est affine.
Je pense à l'exercice suivant (que je crois assez classique) : si $f:[a;b]\to \R$ est continue et si, pour tout $x\in ]a;b[$, il existe $\varepsilon $ tel que $f(x)=\frac{1}{2}\,[\,f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon )\,]$, alors $f$ est affine.
La seule solution que je connaisse consiste justement à montrer que $f$ est convexe (d'où $-f$, qui vérifie la même hypothèse, le sera aussi), et on a la conclusion.
Si on dit, comme Jean Lismonde, qu'une fct affine n'est ni convexe ni concave, on se prive de propriétés importantes, et je ne vois pas comment résoudre ce problème.
je pense que "partie concave" veut dire le complémentaire d'une partie convexe. Dans certains ouvrages on utilise la terminologie "partie concave" pour désigner une partie non-convexe.
Réponses
geoffrey
geoffrey
$f$ convexe $\Leftrightarrow$ $-f$ concave,
donc (sur un intervalle) $f$ est à la fois convexe et concave ssi $f$ est affine.
Pour détailler un peu la réponse d'Aleg : si $f$ est affine, alors on a carrément l'égalité $f(\lambda x + (1-\lambda)y) = \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y)$, facile à montrer en écrvant $f(x)=ax+b$. Donc le membre de gauche est à la fois $\leq$ et $\geq$ au membre de droite et donc la fonction $f$ est convexe et concave. Réciproquement, si on suppose que $f$ est à la fois convexe et concave, l'égalité ci-dessus est vérifiée, et l'idée est de la particulariser pour certaines valeurs de $x,y$ et $\lambda$ pour trouver des candidats pour $a$ et $b$.
le plus simple est de dire que les fonctions affines ne sont ni convexes ni concaves,
exactement comme le chiffre zéro n'est ni positif, ni négatif
d'ailleurs si on caractérise une fonction f convexe avec f"(x) > 0 quel que soit x
et une fonction f concave avec f"(x) < 0
alors la fonction affine n'est ni convexe, ni concave
cordialement
lorsque on raisonne avec "inférieur ou égal" ou "supérieur ou égal"
c'est-à-dire avec les inégalités au sens large on perd clarté, rigueur, simplicité et précision mathématiques
dire par exemple qu'une fonction est croissante lorsque la dérivée est positive ou nulle c'est admettre qu'une route est montante même lorsqu'elle est plate
on en viendra avec de telles définitions à dire qu'une voiture avance même lorsqu'elle est à l'arrêt
cordialement
Il peut s'avérer très utile de caractériser les fcts affines commes les fcts à la fois convexes et concaves, dans le sens où, si on arrive à montrer qu'une fct est convexe et concave (ie que la fct et son opposée {\bf possèdent} une certaine propriété) alors on est assuré qu'elle est affine.
Je pense à l'exercice suivant (que je crois assez classique) : si $f:[a;b]\to \R$ est continue et si, pour tout $x\in ]a;b[$, il existe $\varepsilon $ tel que $f(x)=\frac{1}{2}\,[\,f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon )\,]$, alors $f$ est affine.
La seule solution que je connaisse consiste justement à montrer que $f$ est convexe (d'où $-f$, qui vérifie la même hypothèse, le sera aussi), et on a la conclusion.
Si on dit, comme Jean Lismonde, qu'une fct affine n'est ni convexe ni concave, on se prive de propriétés importantes, et je ne vois pas comment résoudre ce problème.
quelles sont les parties à la fois convexes et concaves dans un espace vetoriel normé $E$ de dimension finie ?
amicalement,
e.v.
> Une partie concave, kézako ?