équivalent

jp
jp
dans Analyse
Bonjour.
$u_n$ est la solution dans [0,1] de l'équation $x^n-nx+1=0$,
j'ai montré que $u$ converge vers 0 et que $u_n\sim \dfrac{1}{n}$.
Je cherche un équivalent de $u_n-\dfrac{1}{n}$...
Merci de vos sugestions.

Réponses

  • egoroff
    egoroff
    Salut,

    Il faut continuer comme tu as commencé ! Tu as montré que $u_n=1/n + o(1/n)$, tu réinjectes ça dans l'équation pour obtenir $u_n-1/n=1/n(1/n + o(1/n))^n$ ; le dernier terme est égal à $1/n^{n+1}(1+o(1))^n$, tu fais un DL de $(1+o(1))^n$...
  • matematibo
    matematibo
    Je dis peut-être des bêtises, mais ça ne me paraît pas si évident que ça : $(1+o(1))^n$, ça peut être beaucoup de choses... Par exemple, on a $(1+ \frac{a}{n})^n \to e^a$.

    Thibaut
  • Guego
    Guego
    Pour reprendre les idées de egoroff : Ecris $u_n$ sous la forme $u_n = \dfrac{1}{n} (1 + \alpha_n)$ où $\alpha_n = o(1)$.

    On cherche alors un équivalent de $\alpha_n$. En réinjectant la nouvelle expression de $u_n$ dans l'équation, on obtient :

    $$\frac{1}{n^n} (1 + \alpha_n)^n - \alpha_n = 0$$

    Or, $(1 + \alpha_n)^n = 1 + n \alpha_n + o(\alpha_n)$. Ceci permet d'en déduire que $\alpha_n \sim \dfrac{1}{n^n}$ (si je ne m'abuse).

    On a donc $u_n = \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^{n+1}} + o(\dfrac{1}{n^{n+1}})$
  • Guego
    Guego
    Ah oui, grossière erreur de ma part, merci matematibo. Mea culpa.
  • egoroff
    egoroff
    Bah t'inquiète Guégo, c'est moi qui t'ai enduit d'erreur. Désolé jp et merci matematibo j'ai complétement déliré sur ce coup-là.
  • bs1
    bs1
    pour $n \geq 3$ ?
  • Guego
    Guego
    Cela dit, ça doit être pas loin de marcher :

    On a $u_n^n -nu_n + 1 = 0$, donc $u_n^n = nu_n - 1$, c'est-à-dire $\alpha_n = u_n^n$.

    Comme $|u_n| < \frac{1}{2}$ à partir d'un certain rang, on en déduit que $\alpha_n$ converge suffisamment vite vers 0 pour avoir $(1+\alpha_n)^n$ qui tend vers 1.
    On a alors, d'après la relation $\displaystyle \frac{1}{n^n} (1 + \alpha_n)^n - \alpha_n = 0$, que $ \alpha_n \sim \dfrac{1}{n^n}$, et qu'on a donc bien le résultat que j'avais donné.
  • matematibo
    matematibo
    Bien joué !
  • jp
    jp
    Un truc simple m'échappe :
    $u_n\sim\dfrac{1}{n] \Longrightarrox u_n^n\sim\dfrac{1}{n^n}$...
    ça marche avec des exposants constants, mais avec $n$ ça ne marche plus ! (cf matematibo)...
    Bref je n ai pas encore compris.
  • jp
    jp
    Un truc simple m'échappe :
    $u_n\sim\dfrac{1}{n}\Rightarrow u_n^n\sim\dfrac{1}{n^n}$...
    ça marche avec des exposants constants, mais avec $n$ ça ne marche plus ! (cf matematibo)...
    Bref je n ai pas encore compris.
  • egoroff
    egoroff
    Bien vu Guégo, il suffit effectivement de montrer que $\alpha_n = o(n)$ pour avoir $(1+\alpha_n)^n \to 1$. Quelqu'un est chaud pour continuer le développement .
  • egoroff
    egoroff
    Non ça ne t'a pas echappé, justement tu mets le doigt sur le coeur du problème. Disons que de $a_n \sim b_n$ on veut déduire $a_n^n \sim b_n^n$. Le mieux est de revenir à la définition, i.e. $a_n=b_n(1+\varepsilon_n)$, avec $\varepsilon_n \to 0$, d'où $a_n^n / b_n^n = (1+\varepsilon_n)^n$ ; ceci tend-il vers $1$ ? Comme l'a très justement rappelé matématibo ce n'est pas vrai en général. En revanche au passant au log on voit que si $n \varepsilon_n$ tend vers $0$ c'est vrai.
  • matematibo
    matematibo
    Pour bien clarifier les choses, il n'est pas vrai en général que $a_n \sim b_n$ entraine $a_n^n \sim b_n^n$, car $n$ n'est pas un exposant constant. Cependant, on conjecture que c'est vrai dans ce cas, et on le montre par un moyen autre que en élevant un équivalant à la puissance $n$.

    Thibaut
  • JJ
    JJ
    Bonjour,

    avec du retard, formule jointe :5410
  • egoroff
    egoroff
    Bravo JJ et merci !

    Je vais essayer de le retrouver tout seul.
  • jp
    jp
    J'y suis (peut-être !) donc pour récapituler (sans rien inventer, j'ai tout piqué au-dessus !):
    on a $nu_n-1=u_n^n$.
    Posons $\alpha_n=nu_n-1$, on a alors $\alpha_n=u_n^n\rightarrow 0$.
    Par ailleurs $u_n^n=\dfrac1{n^n}(1+\alpha_n)^n$, donc $n^nu_n^n=(1+\alpha_n)^n$.
    Or $\ln(1+\alpha_n)^n=n\ln(1+\alpha_n)\sim n\alpha_n$
    enfin, $u_n\rightarrow 0$ donc $\exists N, \forall n\geq N, u_n \leq \dfrac12$ d'où $\alpha_n\leq \dfrac1{2^n}$ donc $0 \leq n\alpha_n \leq \dfrac1{2^n}\rightarrow 0$, donc $\ln(n^nu_n^n)=\ln(1+\alpha_n)^n \rightarrow 0$.
    Ce qui prouve (ouf !) que $u_n^n\sim\dfrac1{n^n}$.
    Donc $nu_n-1=\dfrac1{n^n}+o(\frac1{n^n})$ soit $u_n=\frac1{n}+\frac1{n^{n+1}}+o(\frac1{n^{n+1}})$.
    Merci bcp pour votre aide (et vos remarques s'il y a des fautes dans mon laius).
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