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Image d'un fermé par fonction continue

Pierre 3Pierre 3
dans Analyse
Bonjour,
L’image par un application continue d’un fermé d’un espace topologique quelconque n’est pas toujours un fermé. Par exemple l’image de R (R est ouvert mais aussi fermé pour la topologie usuelle ) par arctan est l’ouvert ] – pi :2 ; pi/2 [ . J’aimerais avoir d’autres exemples plus parlant
D’avance merci.

Pierre

Réponses

  • GuegoGuego
    Pourquoi ne le trouves-tu pas assez parlant ?
  • Pierre 3Pierre 3
    Car il s'agit de l'espace tout entier et qu'il est donc ouvert.

    Pierre
  • GuegoGuego
    Alors regarde l'image de $[0,+\infty[$ par $arctan$ : ça n'est pas un fermé et pourtant $[0,+\infty[$ est un fermé qui n'est pas $\R$ tout entier.
  • egoroffegoroff
    Bon, alors, regarde la projection $p_1 \, : \, \R^2 \to \R, \, (x,y) \to x$ et le fermé $H=\{ \, (x,y) \in \R^2 \, | \, xy=1 \, \}$.
  • Le barbu raséLe barbu rasé
    Prends E un ensemble non vide.

    Prends l'identité de E muni de la topologie discrète vers E muni de la topologie grossière (clairement continue!).

    Prends une partie P de E non vide et non pleine (donc entre autres un fermé de E pour la topo. discrète), son image est P qui n'est pas fermée (dans E muni de la topo. grossière).
  • ArchimèdeArchimède
    On peut prendre $f=\left[\displaystyle {2\over\pi},+\infty\right[\longrightarrow\R$ définie par $\displaystyle f(x)=\sin{1\over x}$.
  • Le barbu raséLe barbu rasé
    Une remarque au passage (j'enfonce des portes ouvertes) : si tu tiens à te placer dans le cadre des fonctions de $\R$ dans $\R$ (avec la topologie usuelle à la source et au but), tu devras nécessairement choisir un fermé non borné à la source si tu veux que son image ne soit pas fermée.

    En effet, dans $\R$ (muni de la topologie usuelle) les fermés bornés sont précisément les compacts, et l'image d'un compact par une application continue est un compact.
  • Pierre 3Pierre 3
    Egoroff pourquoi ton H est-il fermé?

    Merci à tous

    Pierre
  • egoroffegoroff
    Parce que c'est une hyperbole ! Et surtout parce que c'est l'image réciproque du fermé $\{1\}$ de $\R$ par la fonction continue $(x,y) \mapsto xy$ de $\R^2$ vers $\R$.

    Il me semble que tu peux montrer plus généralement qu'une application linéaire entre espaces de dimension finie est fermée si et seulement si elle est injective, et ouverte si et seulement si elle est surjective.
  • Pierre 3Pierre 3
    Merci egoroff et encore merci à tous les autres

    Pierre
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