une série

Que veux tu faire de cette série? Montrer sa convergence ou la calculer?

Essaie de majorer ta somme, rappelle toi du théorème de comparaison...

0< |sin n| < 1

D'où SOMME ( 1/[(2^n).|sin n|] ) < SOMME ( 1/(2^n) )

quelque soit n appartenant à IN

A toi de conclure.

la mesure d'irrationalité est inférieure à $9$ (théorème de Hata), donc
$|\frac{p}{q} - \pi| > \frac{C}{q^9}$ pour une certaine constante $C$ et pour $q$ assez grand (plus grand qu'une constante $q_0$). Cela montre que $| \sin(n)| \geq \frac{K}{n^8}$ pour $n$ assez grand et une constante $K>0$. Cela permet de déduire la convergence de la série .. quelqu'un avec une solution plus élémentaire ?

oui, on ne peut pas s'en sortir avec seulement Dirichlet
$|\frac{p}{q} - \pi| \leq \rac{1}{q^2}$
pour une infinité d'entiers $p,q$ car pour montrer une convergence, on veut une inégalité dans l'autre sens .. On veut une minoration de $| \sin(n) |$, et je ne vois pas comment s'en sortir sans utiliser des théorèmes puissants ..

En fait, il semble bien que j'ai dit une bêtise ! je voulais raisonner par contraposer, en disant que si la série en 1/(nsin(n)) je convergait pas, la série en terme absolument ne converge pas non plus ! (forcément car si la série converge absolument, alors elle converge).

En fait, on peut faire une petite manipulation sur le terme de la série et écrire $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^nsin(n)} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{n^s}{2^n}\frac{1}{n^ssin(n)}$

Comme pour un certain s, $(n^ssin(n))^(-1)$ --> 0 et que l'autre terme est celui d'une série convergente $\forall s$, le théorème de comparaison donne en faite la convergence.

Bon, je vous demande confirmation, car on n'est jamais a l'abris de raconter n'importe quoi