Théorème Tauberien ?
Bonjour,
Je me pose la question de savoir si l'énoncé suivant est juste ? (ca m'arrangerai bien).
- On considère $\alpha>0$ et une suite $(a_n)$ positive et {\bf décroissante} tels que:
$$\sum_{k\geq n}a_k \underset{n\to\infty}{\sim} \frac{1}{n^\alpha}$$
Alors, est-ce que forcement (???)
$$a_n \underset{n\to\infty}{\sim} \frac{\alpha}{n^{\alpha+1}}$$
Si une âme charitable pouvait me renseigner...
Merci !
Je me pose la question de savoir si l'énoncé suivant est juste ? (ca m'arrangerai bien).
- On considère $\alpha>0$ et une suite $(a_n)$ positive et {\bf décroissante} tels que:
$$\sum_{k\geq n}a_k \underset{n\to\infty}{\sim} \frac{1}{n^\alpha}$$
Alors, est-ce que forcement (???)
$$a_n \underset{n\to\infty}{\sim} \frac{\alpha}{n^{\alpha+1}}$$
Si une âme charitable pouvait me renseigner...
Merci !
Réponses
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Il me semble qu'il suffit de prendre une suite égale à $\alpha/n^{\alpha+1}$ sauf pour quelques termes très espacés, et ça donne un contre exemple.
-
Salut,
Je ne suis pas sur de comprendre l'idée de ton contre-exemple :
comment choisis-tu les "termes très espacés" sant compromettre la monotonie de la suite ?
En fait, il me semble que ce résultat doit etre juste mais je ne trouve pas de références à ce sujet.
Et le preuve, si c'est vrai ne doit pas être triviale...
A+ -
Oublie ce que j'ai dit, je ne sais pas lire le texte en gras.
Bon c'est peut être vrai tout compte fait. -
Salut
J'ai l'impression que c'est immédiat non ? On encadre $S_{n+1}-S_n$ et le résultat tombe directement. -
Salut Guimauve,
Je ne vois pas très bien comment cela peut marcher car on ne connait qu'un équivalent de $S_{n}$ (et pas le DL à l'ordre suivant) donc on ne peut pas dire grand chose de $S_{n+1} - S_{n}$...
De plus, a quel moment utilise tu la monotonie de la suite (hypothèse cruciale comme l'a fait remarquer Corentin) ?
Peux tu developper ton idée ?
Merci,
A+ -
Ben par définition pour tout $\varepsilon > 0$ il existe un rang à partir duquel
\[ \frac{1}{n^\alpha}\left( 1 + \varepsilon \right) \geq S_n \geq \frac{1}{n^\alpha} \left( 1-\varepsilon \right) \]
Et
\[ \frac{1}{(n+1)^\alpha} \left( 1 + \varepsilon \right) \geq S_{n+1} \geq \frac{1}{(n+1)^\alpha} \left( 1 - \varepsilon \right) \]
Et de là,
\[ S_{n+1}-S_n = \frac{\alpha}{n^{\alpha+1}} + o\left( \frac{1}{n^{\alpha+1} \right) \]
Nan ? -
Salut Guimauve,
Et Nan ! Désolé :-)
En fait, le problème, c'est que lorsque tu soustrais tes deux encadrements, tu conserve un terme en $\varepsilon/n^\alpha$ donc on ne peut rien dire...
En fait, cette méthode ne peut pas marcher puisque tu n'utilise pas l'hypothèse de monotonie de la suite (or, sans cette hypothèse, il est facile de construire des contre-exemples)...
Il me semble que ce résultat ressemble à un théorème de type Abélien/Tauberien. Dans ce cas, la démonstration ne doit pas être élémentaire....
Merci quand même,
A+ -
Flûte t'as raison, je me suis planté dans les signes (malgré deux vérifications ...). Désolé.
-
jette un coup d' oeil dans le tout début du Zuily Quéffélec
-
Salut Pilz,
Effectivement, dans le Zuily-Queffelec, il y a bien un théorème tauberien dans le même genre (dans le bouquin, il s'agit de l'estimation du terme général de la serie à partir des sommes partielles lorsque la serie diverge).
Dans mon cas, il s'agit d'estimer le terme général en fonction des restes de la serie lorsqu'elle converge mais la preuve du Zuily-Queffelec s'adapte sans problème... Donc ca marche nickel...
Ah, l'agreg ! c'est bien loin... En plus, j'ai eu Queffelec dans mon jury d'oral...
Merci beaucoup Pilz !!!
A+
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