Limite d'un produit de cosinus

piRo0 · September 2006

Bonjour,

Dans un exos impliquant des suites adjacentes un peu fumeuses, je me retrouve à essayer de calculer la limite suivante :

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{k=1}^n cos(\frac{\theta}{2^k})}$

Ca ne me parait pas évident, j'ai tenté un passage au log sans résultat, si quelqu'un à une idée...

Pierre

AlexB · September 2006

Indication : utiliser sin(2x)=2sin(x)cos(x).

superfly · September 2006

On peut, peut-être voir

$\cos(\frac{\theta}{2^k}) = \re(e^(\frac{\theta}{2^k}))$

Bon j'arrive pas à le mettre correctement en latex, imagine ce cos, comme une partie réelle d'une exponentielle

Richard André-Jeannin · September 2006

L'idée d'AlexB est la plus simple
Complément d'indication:
sin(x)=2*sin(x/2)*cos(x/2)=2²*sin(x/4)*cos(x/4)*cos(x/2), etc.

Alain Debreil · September 2006

On peut, peut-être voir $$ \cos\left(\frac{\theta}{2^k}\right) = \Re\left(e^{\frac{\theta}{2^k}}\right)$$ Bon je n'arrive pas à le mettre correctement en latex, imagine ce cos, comme une partie réelle d'une exponentielle

piRo0 · September 2006

Merci bien, RAJ & Alex ça me donne du $\frac{cos(x)}{x}$.

fallait y penser quand même...

jean lismonde · September 2006

bonjour

la limite indiquée est erronée: en fait il s'agit de sinx/x

le produit initial après simplification peut s'écrire:

sinx/[2^n.sin(x/2^n)]

et le terme entre crochets tend vers x lorsque n tend vers l'infini

cordialement