Permutation des termes d'une somme

Bonjour,

L'idée sous-jacente est que les sommes des inverses des pairs est divergente, tout comme celle des impairs (facile à établir, surtout dans cet ordre). On peut donc sommer les termes à partir d'où l'on veut jusqu'à autant qu'on veut.

Allons-y pour réordonner pour avoir comme limite, disons -e.
On commence donc par des termes impairs: -1-1/3-1/5-......(il faut aller loin)...-1/153 par exemple. On s'arrête dès qu'on est inférieur à -e. Il faut alors ajouter pour remonter un peu. Donc on place le premier de la série des pairs, +1/2, et là on se retrouve à nouveau au dessus. On reprend les termes impairs à partir de -1/155, de nouveau jusqu'à être inférieur à -e. Et ainsi de suite.

La limite, si elle existe est dans un intervalle, qui est de plus en plus petit, et dont chaque extrémité tend vers -e. Et voilà ;o)

ama

D'ailleurs, plus généralement, pour toute série convergente mais non absolument convergente (on dit semi-convergente il me semble) on peut trouver une permutation des termes de la somme qui fasse converger la série vers n'importe quoi. (j'adore cette phrase).

En fait comme on l' a dit pour une série semi convergente on peut regrouper les termes pour la faire converger vers ce que l' on veut, lais ce qui est génial dans cet exemple est que la construction est explicite:

si on prend $p$ termes positifs ( dans l' ordre où ils se présentent ), $q$ négatifs, $p$ positifs etc...alors la série que l' on obtient converge vers $ln(2\frac{\sqrt{p}}{q})$, ce qui d' ailleurs peut faire un petit développement d' agrég...

Oui c'est dans un livre de Flory qui s' appelle topologie et séries je crois