suite convergente
dans Analyse
Bonjour
Je reste collé devant cette question et pourtant elle me parait si "naturelle".
Soit (Un) une suite convergente vers "a", on sait qu'elle est croissante, comment montrer rigoureusement que Un est strictement inférieur à "a"?
Ps: ai-je le droit de dire que si un nombre est irrationel, alors son inverse l'est aussi?
Merci infiniment pour votre aide
Je reste collé devant cette question et pourtant elle me parait si "naturelle".
Soit (Un) une suite convergente vers "a", on sait qu'elle est croissante, comment montrer rigoureusement que Un est strictement inférieur à "a"?
Ps: ai-je le droit de dire que si un nombre est irrationel, alors son inverse l'est aussi?
Merci infiniment pour votre aide
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Réponses
Je pense qu'il faut ajouter l'hypothèse "croissance stricte". Sinon la suite constante égale à "a" contredirait ce que tu dis.
D' autre part part définition de la convergence vers $a$ on a l' existence de $N_1$ tel que pour tout $n>N_1$ $|u_n-a|max(N,N_1)$.
Par l'absurde,
supposons qu'il existe $p$ tel que $u_p\geq a$, alors la suite extraite (tronquée, ici) $(u_{n+p+1})$ est strictement croissante et son premier terme $u_{p+1}$ vérifie $u_{p+1}-a=d >0$. Par conséquent, tous les termes de cette suite extraite sont à une distance supérieure à $d>0$ du nombre $a$, ce qui contredit la convergence de $(u_n)$ vers $a$.
conclusion : $u_n
Et pour ma 2ème question? (je sais j'abuse de votre temps)
Domi
Comme $\Q$ est un corps, donc l'inverse de tout élément de $\Q$ est dans $\Q$ sous réserve d'existence, bien sûr ; le passage à l'inverse étant involutif, si $\dfrac 1 r \in \Q$, alors $r = \dfrac 1 {\dfrac 1 r} \in \Q$.
C'est peut-être un peu plus long, mais plus positif.
Bruno
Bruno
Ps: ce qui est difficile avec ce prof, c'est qu'il a la réputation de sortir souvent du programme et en tant qu'élève, on n'a pas le recul nécessaire pour savoir ce qui est permis ou non (par exemple l'année dernière en 1S, quand il en avait marre de calculer certaines limites, paf il nous balance des développements limités pour soit-disant racourcir les calculs et rendre les choses plus facile ... Le problème personne n'y comprend rien !)
Bruno
Domi
En fait je trouve plus naturel de montrer, et cela par contraposée, que si la suite croissante u_n converge vers vers a alors, pour tout n, u_n =< a
Ensuite si on suppose la croissance stricte alors on a bien u_n < a
c'est banal : u_n < u_(n+1) <= a d'où u_n < a et cela pour tout n..
Oump.
Absurde ou contraposée, dans le cas présent ne change rien à mon intervention. Sans doute suis-je un peu (ou trop) dogmatique, mais je trouve que le fond de la question c'est que l'inverse d'un rationnel est un rationnel. Bref, moi qui ne suis pas spécialement partisan du structuralisme mathématique, je fonde mon intervention sur la structure de corps. Un comble ! Surtout, que cela ne t'empêche pas de dormir ;-)
Bruno
tu aurais dû préciser dès le départ que tu étais élève de Terminale, car les intervenants en auraient tenu compte pour formuler leurs réponses en fonction des connaissances qu'on peut avoir à ce stade.
Personnellement, je ne suis pas au fait des détails du programme de Terminale S concernant les suites et je ne sais pas quelle est la définition d'une suite convergente qui est adoptée.
Il serait intéressant que quelqu'un qui connaît bien les programmes (un prof de terminale serait l'idéal..) réponde à la question en n'utilisant que les outils de ces programmes.
De même la première remarque d'Oumpapah ci-dessus (si $(u_n)$ converge vers $a$ en croissant alors $u_n\leq a$ pour tout $n$) est-elle facilement "démontrable" en Terminale ou se contente-t-on d'une "évidence intuitive" ?
Excuse-moi et ne tiens pas compte de la première phrase de mon précédent message..
Mais ma question reste posée : quelqu'un pourrait-il te répondre avec les seuls outils du programme de Terminale ?
c'est vrai qu'on n'utilise pas les epsilon en terminale S, mais on peut toujours se ramener à une définition intuitive de la limite d'une suite qui serait: "la suite u(n) tend vers a si on peut rendre |u(n)-a| aussi petit que l'on veut pour tout n>n0". Bon je ne sais pas si on dispose de cette définition en terminale S, mais c'est de cette façon (plus ou moins) qu'elle avait été définie au 18ème siècle, et je pense que c'est de cette façon qu'on devrait introduire la notion de limite au lycée.
Supposons que Un n'est pas strictement inférieur à "a", c-à-d il existe no tel que U(n0)>=a, U(n0-1)<a, et U(n0)>a. C'est à ces endroits que (Un) se rapproche le plus de "a" puisque (Un) est strictement croissante, et la distance minimale entre a et U(n) est donc soit |U(n0)-a|, soit |U(n0-1)-a|, soit
|U(n0+1)-a|. Si on prend le minimum de ces 3 nombres qu'on appelle d, on voit qu'on ne peut se rapprocher de a à une distance >0 et à une distance strictement inférieure à d. Donc on ne peut pas se rapprocher de façon infiniment proche de a, ce qui montre que Un n'est pas convergente. On montre ainsi ce qu'on voulait par l'absurde.
1/ Tout intervalle ouvert contenant a contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini.
2/ Tout intervalle ouvert contenant a contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang .
Si on utilise la première définition, on voit par rapport au raisonnement précédent que l'intervalle ]U(n0-1) ; U(n0+1)[ contient a, et ne contient que ces deux là, et non une infinité de termes de la suite, et encore moins "tous les termes de la suite sauf un nombre fini", on en déduit que Un n'est pas convergente, grâce à un outil de TS....
J'avoue que je n'ai pas très bien compris vos explications ,et pourtant j'ai essayé...mais j'ai encore quelques jours!
Je pensais que c'était quand une suite Un croit et tend vers un réel a, il est naturel de dire que Un<=a , apparemment non, il faut le démontrer !
Je pense avoir plus ou moins compris les explications de Ilpadrino et de Aleg (je vais encore méditer dessus), et enore une fois merci à tous de m'avoir répondu