suite cv dans deux evn

On prend E l'espace des polynômes à coefficients réels.

comme norme N1 on choisit la norme du sup sur l'intervalle I = [1/2,1]
et pour N2 la norme du sup sur J = [-1; -1/2]

Ensuite on prend H une fonction créneau qui vaut 0 sur I et 1 sur J
D'après le théorème de Weierstrass on peut trouver une suite H_n de polynômes (éléments de E) qui converge uniformément vers H sur le segment [-1; 1]

Mais pour N_1, H_n converge vers la fonction nulle et vers la fonction constante égale à 1 pour N_2.

Voilà je pense que ça convient

le poulpe

il me semble que prendre la fonction du Poulpe affine par morceaux plutot que créneau convient.
on a bien convergence vers des polyômes (et non juste des fonctions polynômiales sur I et J) car les intervalles considérés contiennent une infinité de points (c'est ce qui assure que N1 et N2 sont des normes quoi)

tu prends $P_n(x)=(1-x)^n$ qui tend vers 0 pour la norme de la CVU sur $[0,1/2]$ et vers 1 pour la norme de la CV en moyenne sur $[0,1]$

que penses tu de cela:

$P_n(x)=nx^n$. On a CVU vers 0 sur $[0,1/2]$ car $n/2^n$ tend vers 0 et d'autre part $$\int_{0}^{1}|1-P_n(x)|dx$$ tend vers 0 donc $P_n$ tend vers 1 pour la CV en moyenne sur $[0,1]$
pourvu que ce soit juste. attention à bien couper l'intégrale en deux à cause de la valeur absolue...

tu as encore raison
c'est encore faux
on dira que c'est pour te préparer à ta rentrée!!!
je cherche encore...
c'est vrai qu'expliciter les polynômes de Bernstein c'est pas enthousiasmant...

bonsoir,

la situation évoquée par alaina ne peut se produire

plus généralement il n'existe pas dans un ensemble E deux distances d1 et d2
telles qu'il puisse exister une suite xn convergeant vers a1 au sens d1 et vers a2 au sens d2 avec a1#a2

exercice!

indication : en supposant une telle situation et en appelant e le minimum de d1(a1,a2) et d2(a1,a2) contempler les boules B1(a1,e/3) et
B2(a2,e/3)...

( et tounet reflechira à l'erreur de raisonnement qu'il commet..)

Oump.

Re

d'ac! j'ai été victime d'une illusion d'optique , les metriques sont plus tordus que les normés..

cela dit, avec des normes ça ne me parait pas possible, faut voir ..
d'ici la rentrée je me forgerai une opinion..

Oump.

il ne s'agit pas vraiment d'une question de croyance.

notons $E$ l'espace vectoriel des fonctions polynômiales de $\R$ dans $\R$ à coefficients réels. si $a < b$, on définit une norme sur $E$ en posant $\|~\|_{\infty,[a;b]}\::\:u \mapsto sup_{x \in [a;b]} |u(x)|$. le seul point qui peut poser problème est $\|u\|_{\infty,[a;b]} = 0 \Rightarrow u = 0$, qui est dû au fait que $[a;b]$ contient une infinité de points distincts mais qu'un polynôme n'a qu'un nombre fini de racines.

soit $f$ notre fonction continue affine par morceaux sur $[0,3]$ telle que $f_{/[0;1]} = 0$ et $f_{/[2;3]} = 1$. par le théorème de Stone-Weierstrass, il existe $(P_n)$ suite de $E$ convergeant vers $f$ pour $\|~\|_{\infty,[0;3]}$. Alors :

$\| P_n - 0 \|_{\infty,[0;1]} = sup_{x \in [0;1]} | P_n(x) - 0 | = sup_{x \in [0;1]} | P_n(x) - f(x) | \leq sup_{x \in [0;3]} | P_n(x) - f(x) | = \| P_n - f \|_{\infty,[0;3]} \to 0$

lorsque $n \to +\infty$ par définition de $(P_n)$, qui converge donc vers 0 (c'est bien une fonction polynômiale !) dans $(E, \|~\|_{\infty,[0;1]})$.
un calcul similaire te convaincra aisément que $(P_n)$ converge aussi dans $(E, \|~\|_{\infty,[2;3]})$ vers la fonction polynômiale 1.

"je crois que tu n'as pas bien vu qu'il y a 2 limites et ce sont bien sauf erreur des polynômes à savoir les polynômes de $ \mathbb{R}[X]$ : 0 et 1"

Justement, pour moi ce sont des suites de Cauchy non convergentes, ce qui montre que ton espace n'est pas complet.

"N'est-il pas vrai que"etc
Si, il faut que j'arrête de faire des maths du point de vue de la croyance.

bonjour,
je n'ai pas le buquin sous les yeux mais il y a un exemple dans le Gostiaux tome 2 avec des polynomes dans IR[X] muni de deux normes et d'une suite qui converge vers deux limites distinctes selon chacune d'elles...Si ça peut aider