Exp et algebre de Banach

$A=\R$.
A moins qu'une algèbre de Banach soit automatiquement sur $\C$?

Dans ce cas je suis loin de pouvoir répondre (je ne sais même pas traiter le cas $M_n(\C)$, qui a pourtant été abordé plusieurs fois sur le forum si je ne m'abuse).

dans le cas M_n(C), c'est traité dans le mneimné en exo (il y a des indications)

pour une algebre de banach ça doit etre assez tendu...

En tout cas la preuve du mneimée ne me semble pas adaptable au cas d' une algèbre de Banach quelconque

bonjour

la fonction f définie par f(x)=x.exp(x) est bijective pour x > 0

pour x < 0 elle réalise une surjection de R- sur [-1/e; 0]

(la forme de la courbe représentative de f l'indique facilement)

la fonction réciproque n'est pas explicitable avec les fonctions classiques mais on connaît ses propriétés précisément

cordialement

marco a écrit (à peu de choses près) :

Il me semble que si l'on prend comme espace de Banach $E$ les suites de $\N$ dans $\C$ muni de la norme $\sum |u_n|$ et comme algèbre de Banach $A$ les endomorphismes continus triangulaires supérieurs dans la base canonique, alors l'endomorphisme défini par $T(e_0)=0$, $T(e_i)=e_{i-1}$, $T$ n'appartient pas à l'image de $x \rightarrow xe^x$ car la matrice infinie $M$ qui serait l'image reciproque de $T$, verifierait $M=\sum a_n T^n$ où $\sum a_n x^n$ est le developpement en serie de la fonction réciproque $W$ de $x \rightarrow xe^x$ au voisinage de $0$.
La projection de $M(1,x,...,x^n,...)$ sur $e_0$ est $\sum a_n x^n$ qui serait donc convergent pour $|x|