Non, tu as raison une algebre de Banach n'est pas automatiquement sur $\C$ mais finalement, apres ton message, je pose ma question pour une algebre de Banach complexe.
Ou une C*-algebre.
Dans ce cas je suis loin de pouvoir répondre (je ne sais même pas traiter le cas $M_n(\C)$, qui a pourtant été abordé plusieurs fois sur le forum si je ne m'abuse).
Il me semble que si l'on prend comme espace de Banach E les suites de $\N$ dans $\C$ muni de lla norme $\Sigma |u_n|$ et comme algebre de Banach A les endomorphismes continues triangulaires superieures dans le base canonique, alors l'endomorphisme definie par $T(e_0)=0, T(e_i)=e_{i-1}$,
T n'appartient pas a l'image de $x \rightarrow xe^x$
car la matrice infinie M qui serait l'image reciproque de T, verifierait
$M=\Sigma a_nT^n$ où $\Sigma a_n x^n$ est le developpement en serie de la fonction reciproque W de $x \rightarrox xe^x$ au voisinage de $0$.
La projection de $M(1,x,...,x^n,...)$ sur $e_0$ est $\Sigma a_n x^n$ qui serait donc convergent pour $|x|
Il me semble que si l'on prend comme espace de Banach E les suites de $\N$ dans $\C$ muni de lla norme $\Sigma |u_n|$ et comme algebre de Banach A les endomorphismes continues triangulaires superieures dans le base canonique, alors l'endomorphisme definie par $T(e_0)=0, T(e_i)=e_{i-1}$,
T n'appartient pas a l'image de $x \rightarrow xe^x$
car la matrice infinie M qui serait l'image reciproque de T, verifierait
$M=\Sigma a_nT^n$ où $\Sigma a_n x^n$ est le developpement en serie de la fonction reciproque W de $x \rightarrox xe^x$ au voisinage de $0$.
La projection de $M(1,x,...,x^n,...)$ sur $e_0$ est $\Sigma a_n x^n$ qui serait donc convergent pour $|x|
Il me semble que si l'on prend comme espace de Banach E les suites de $\N$ dans $\C$ muni de lla norme $\Sigma |u_n|$ et comme algebre de Banach A les endomorphismes continues triangulaires superieures dans le base canonique, alors l'endomorphisme definie par $T(e_0)=0, T(e_i)=e_{i-1}$,
T n'appartient pas a l'image de $x \rightarrow xe^x$
car la matrice infinie M qui serait l'image reciproque de T, verifierait
$M=\Sigma a_nT^n$ où $\Sigma a_n x^n$ est le developpement en serie de la fonction reciproque W de $x \rightarrox xe^x$ au voisinage de $0$.
La projection de $M(1,x,...,x^n,...)$ sur $e_0$ est $\Sigma a_n x^n$ qui serait donc convergent pour $|x|
Il me semble que si l'on prend comme espace de Banach $E$ les suites de $\N$ dans $\C$ muni de la norme $\sum |u_n|$ et comme algèbre de Banach $A$ les endomorphismes continus triangulaires supérieurs dans la base canonique, alors l'endomorphisme défini par $T(e_0)=0$, $T(e_i)=e_{i-1}$, $T$ n'appartient pas à l'image de $x \rightarrow xe^x$ car la matrice infinie $M$ qui serait l'image reciproque de $T$, verifierait $M=\sum a_n T^n$ où $\sum a_n x^n$ est le developpement en serie de la fonction réciproque $W$ de $x \rightarrow xe^x$ au voisinage de $0$.
La projection de $M(1,x,...,x^n,...)$ sur $e_0$ est $\sum a_n x^n$ qui serait donc convergent pour $|x|
Réponses
A moins qu'une algèbre de Banach soit automatiquement sur $\C$?
Ou une C*-algebre.
marco
pour une algebre de banach ça doit etre assez tendu...
pour une algebre de banach ça doit etre assez tendu...
la fonction f définie par f(x)=x.exp(x) est bijective pour x > 0
pour x < 0 elle réalise une surjection de R- sur [-1/e; 0]
(la forme de la courbe représentative de f l'indique facilement)
la fonction réciproque n'est pas explicitable avec les fonctions classiques mais on connaît ses propriétés précisément
cordialement
T n'appartient pas a l'image de $x \rightarrow xe^x$
car la matrice infinie M qui serait l'image reciproque de T, verifierait
$M=\Sigma a_nT^n$ où $\Sigma a_n x^n$ est le developpement en serie de la fonction reciproque W de $x \rightarrox xe^x$ au voisinage de $0$.
La projection de $M(1,x,...,x^n,...)$ sur $e_0$ est $\Sigma a_n x^n$ qui serait donc convergent pour $|x|
T n'appartient pas a l'image de $x \rightarrow xe^x$
car la matrice infinie M qui serait l'image reciproque de T, verifierait
$M=\Sigma a_nT^n$ où $\Sigma a_n x^n$ est le developpement en serie de la fonction reciproque W de $x \rightarrox xe^x$ au voisinage de $0$.
La projection de $M(1,x,...,x^n,...)$ sur $e_0$ est $\Sigma a_n x^n$ qui serait donc convergent pour $|x|
T n'appartient pas a l'image de $x \rightarrow xe^x$
car la matrice infinie M qui serait l'image reciproque de T, verifierait
$M=\Sigma a_nT^n$ où $\Sigma a_n x^n$ est le developpement en serie de la fonction reciproque W de $x \rightarrox xe^x$ au voisinage de $0$.
La projection de $M(1,x,...,x^n,...)$ sur $e_0$ est $\Sigma a_n x^n$ qui serait donc convergent pour $|x|
Il me semble que si l'on prend comme espace de Banach $E$ les suites de $\N$ dans $\C$ muni de la norme $\sum |u_n|$ et comme algèbre de Banach $A$ les endomorphismes continus triangulaires supérieurs dans la base canonique, alors l'endomorphisme défini par $T(e_0)=0$, $T(e_i)=e_{i-1}$, $T$ n'appartient pas à l'image de $x \rightarrow xe^x$ car la matrice infinie $M$ qui serait l'image reciproque de $T$, verifierait $M=\sum a_n T^n$ où $\sum a_n x^n$ est le developpement en serie de la fonction réciproque $W$ de $x \rightarrow xe^x$ au voisinage de $0$.
La projection de $M(1,x,...,x^n,...)$ sur $e_0$ est $\sum a_n x^n$ qui serait donc convergent pour $|x|