Fermé de mesure non nulle ?

kjus · June 2006

Bonjour,
Savez-vous s'il existe des fermés de [0,1], de mesure non nulle, ne contenant aucun intervalle ouvert ?
Je cherche, mais je ne trouve ni de contre-exemple, ni de démonstration.
si quelqu'un pouvait me mettre sur la voie..
Merci !

corentin · June 2006

Tu peux regarder du côté des ensembles de Cantor (celui fabriqué avec le paramètre $\frac{1}{3}$ est de mesure nulle, mais si on prend un paramètre plus grand ça marche si je me souviens bien).

kjus · June 2006

Oui effectivement ! (et on peut même faire en sorte que la mesure de l'ensemble construit soit n'importe quel réel de [0,1[ )
merci

Jean-Louis Lambda0 · June 2006

Il me semble que la mesure saute de 0 à 1 quand le paramètre atteint 1/2.

kéké0 · June 2006

epfl??? ne serait pas la célèbre école Polytechnique de Lausanne...??
ça c'est la classe!

cubi · June 2006

Je crois bien avoir fait ce genre d'exos en bossant sur le Rudin;
La solution ne serait-elle pas avec un parametre qui change à chaque pas de ta construction? Une suite de paramètres en somme, qui tend vers 0 ou 1.
Ma réponse n'est pas forcément très claire, à l'image de mes souvenirs sur les exos concernés mais elle pourra je l'espère te mettr sur la voie

Le Furet · June 2006

J'ai les mêmes souvenirs...

le poulpe · June 2006

moi aussi

l'exemple est difficile à contruire si je me souviens bien

on y avait passé un bon moment avec un pote!

Jean-Louis Lambda0 · June 2006

Merci kéké.

Sinon, j'ai essayé de réflechir un peu au problème, dans l'idée de cubi, mais je n'aboutis à pas grand chose. Je précise que je suis en informatique et non en maths (pour ne pas ternir l'image de l'epfl...).

Pour ce qui est du cas &quotnormal" où le rapport r est constant et < 1/2, je trouve effectivement par le calcul que la mesure est nulle en calculant la mesure du complémentaire sur [0,1].

Un ensemble de cantor sur [0,1] contient un trou de longueur 1-2r et 2 ensembles de Cantor de longueur r.

Pour tout n, il y a $2^n$ trous de longueur $r^n (1-2r)$.

$\sum_n 2^n r^n (1-2r) = \frac{1-2r}{1-2r} = 1$

On suppose alors que r varie à chaque itération comme une suite $u_n$. La mesure des trous vaut alors

$\sum_n (1-2u_n) \prod_{k

corentin · June 2006

Je pense que vous vous cassez la tête pour rien.
Un ensemble de Cantor se construit en enlevant à la nème étape un petit morceau de mesure $l_n$ au milieu des segments qui restent.
On a donc directement que la mesure du Cantor limite vaut $1-\sum 2^nl_{n+1}$, qui vaut bien ce que l'on veut (si par exemple, $l_n=q^n$, on obtient une mesure qui vaut $1-\frac{q}{1-2q}$, donc n'importe quel réel de $[0,1]$).

cubi · June 2006

effectivement, vu comme ça c'est plus simple, précisons quand même que q doit être choisi dans [0,1/3] pour qu'il soit effectivement possible d'enlever une portion de longueur q^(n+1) à chacun des 2^n morceaux restant, sinon ça finit par "déborder"

Fermé de mesure non nulle ?

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