Calcul de primitive

flo70 · June 2006

Boujour à tous,
J'aurai besoin d'aide pour calculer la primitive de :

[A - B cos²(x)]^(-1/2) dx

Merci bcp...

@+

dni · June 2006

excuse moi flo7 ,mais est ce qu'on a des info sur A et B (genre appartenant à R ou C ....) ?

med · June 2006

Salut,

Je doute qu'il existe une primitive usuelle, dans le cas général !
Pourtant, tu peut mettre le CV:$\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2};t=tan(x/2)$

med

Yalcin · June 2006

Bonjour

Maple donne : $\displaystyle{-\sqrt {1- \left( \cos \left( x \right) \right) ^{2}}\sqrt {{\frac {A-B \left( \cos \left( x \right) \right) ^{2}}{A}}}{\it EllipticF}\left( \cos \left( x \right) ,\sqrt {{\frac {B}{A}}} \right) \left(\sin \left( x \right) \right) ^{-1}{\frac {1}{\sqrt {A-B \left( \cos \left( x \right) \right) ^{2}}}}+C}$

Cordialement Yalcin

dni · June 2006

pourtant on ne sait même pas le signe de A et B ; comment il peut faire racine (A/B)

... · June 2006

Ca désigne sans doute une racine dans C

JJ · June 2006

Bonjour,

En général (sauf pour des valeurs particulières des coefficients A et

, cette intégrale ne peut pas s'exprimer avec les fonctions élémentaires en nombre fini. Elle s'exprime formellement selon l'intégrale elliptique incomplète de première espèce (page jointe).
Sa formulation sous forme de série infinie est connue. En pratique, il existe des tables pour la calculer ou des algorithmes de calcul numérique implémentés sur ordinateur ou sur calculette (comme il en existe pareillement pour le calcul des fonctions sin, cos, exp, log ou autres). 4585

jean lismonde · June 2006

bonjour

je complète la réponse de JJ: il s'agit bien d'une intégrale elliptique de première espèce que l'on calcule ainsi:

pi/[2.L(a;b)]=intégrale de 0 à pi/2 de dt/rac[a²+(b²-a²)cos²t]

L(a;b) est la limite commune des suites arithmético-géométriques de termes initiaux a et b tels que 0 < a < b

et définies par les équations récurrentes :

an=rac[a(n-1).b(n-1)]

bn=[a(n-1)+b(n-1)]/2

ici il faura prendre a = rac(A) et b = rac(A +

et donc la limite commune des suites est L[rac(A); rac(A +

]

et la valeur de l'intégrale est pi/[2.L(rac(A); rac(A+B))]

cordialement

JJ · June 2006

Petite remarque sur la méthode de calcul indiquée par jean lismonde :
C'est une méthode performante généralement utilisée pour le calcul numérique de l'intégrale elliptique complètes (c'est à dire définie ente 0 et pi/2).
Dans le cas de l'intégrale elliptique incomplète (correspondant à la question posée par flo7), l'algorithme généralement utilisé est une extension de la méthode précédente (en faisant intervenir la transformation de Landen) et qui devient donc plus compliquée.

med · June 2006

Bonjours:

JJ ou Jean: une petite question que je veux vous poser si vous permettez, il s'agit de quel niveau la méthode que vous venez d'utiliser ?

Merci
med

bs1 · June 2006

bonjour flo7

tu n'as pas indiqué le niveau de calcul de ta primitive ; lequel aurais-tu indiqué si ce renseignement était obligatoire sur ce forum ?

merci

flo70 · June 2006

Boujour,
dsl de pas avoir répondu plus tôt...

tout d'abord merci pour vos réponses.

Ensuite pour préciser, A et B sont réels tel que A>B dc la racine existe et est réelle...

flo70 · June 2006

re, dsl je corrige :

A et B sont deux réels tel que 0<B<A...

JJ · June 2006

Bonjour,

La page jointe donne le résultat formel (impliquant la fonction spéciale "elliptique incomplète de première espèce") dans le cas 0<B<A.
Je ne sais pas exactement à quel niveau tout cela est enseigné en Fac. Mais, à mon avis, un bon étudiant sortant de prépa possède déjà un niveau suffisant, bien que, à ma connaissance, les intégrales elliptiques ne soient pas à son programme : il peut très bien assimiler des développements du niveau suivant (par exemple) :
<http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheFirstKind.html> 4602

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