les ouverts de C

anne
anne
dans Analyse
Bonjour, pourriez vous me dire si un ouvert connexe de C est forcément borné? En fait, je voudrais apliquer le principe du maximum sur un ouvert connexe mais les hypothèses du théorème impose qu'il soit borné...
Merci d'avance.

Réponses

  • archimède0
    archimède0
    $\C$ est un ouvert connexe non borné...
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Non, $\C$ est un ouvert connexe et il n'est pas borné.
    Un ouvert connexe $U$ de $\C$ est un ouvert tel qu'il est possible de rejoindre n'importe quel couple de points $(z,z')\in U²$ par un chemin continu, autrement dit il existe une fonction continue $\varphi:[0,1]\to U$ telle que $\varphi(0)=z$ et $\varphi(1)=z'$. En gros tu peux rejoindre ces points en traçant un trait avec ton stylo sans jamais le lever.
    Tu peux imaginer assez facilement que ça peut ressembler à tout et n'importe quoi, et en particulier un ouvert non borné.
  • anne
    anne
    Merci pour vos réponses. Mais alors : comment utiliser le principe du maximum pour les fonctions holomorphes sur cet ouvert?! ( j'ai posé l'énoncé de mon probleme dans un message le 07/06 intitulé "ANALYSE - les fonctions holomorphes " .
  • archimède0
    archimède0
    On peut appliquer ce principe sur tout compact de l'ouvert. Notamment le module de la fonction n'admet pas de minimum local strict.
  • anne
    anne
    Merci Archimède
  • le poulpe pas loggé
    le poulpe pas loggé
    on parle de connexe, pas de connexe par arcs ;)
  • romainm1
    romainm1
    Oui mais pour les \underline{ouverts} de $\C$, il y a équivalence entre « connexe » et « connexe par arcs ».
  • anne
    anne
    Et je peux utiliser le principe du prolongement analytique pour étendre le résultat a C entier?
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    De quel résultat parles-tu ?
  • ksksk
    ksksk
    Peut-être peut-on s'en sortir en invoquant le fait qu'un ouvert connexe non trivial de C ne doit pas être loin de pouvoir être revêtu par le disque...
  • anne
    anne
    En fait la question est la suivante : si une fonction holomorphe est bornée en module sur tout compact de U connexe, est-elle bornée sur tout U?
    ( via le principe du prolongement analytique?)
  • le poulpe
    le poulpe
    je n'avais pas vu le "ouvert"

    désolé
  • GLaG
    GLaG
    Avec U=C et f(z)=z, on a f bornée sur tout compact de U et f n'est pas bornée.
    J'ai raté quelque chose, ou bien il manque une hypothèse dans l'énoncé ?
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