Une somme symbolique

med · June 2006

Salut,

Maple me donne:
$$\sum_{k=1}^{n}k(k-1)=-(n+1)^2+2/3n+2/3+1/3(n+1)^3$$
Je me demande comment peut-on la prouver ?

Merci de ton aide.
med

jps0 · June 2006

$$\sum_{k=1}^{n}k(k-1= \sum_{k=1}^{n}k^2 - \sum_{k=1}^{n}k$$

med · June 2006

Mais pour cela il faut prouver que:

$$\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
Donc on avance plus rien !

Guimauve0 · June 2006

On peut s'en tirer avec une récurrence ou, si on préfère :
<P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="195" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/8/89885/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)^3-k^3=(n+1)^3 $"></DIV><P></P>
D'une part
<P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="342" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/8/89885/cv/img2.png" ALT="$\displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)^3-k^3=\sum_{k=0}^n ((k+1)^2+k(k+1)+k^2) $"></DIV><P></P>
D'autre part.
En développant :
<P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="578" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/8/89885/cv/img3.png" ALT="$\displaystyle \sum_{k=0}^n ((k+1)^2+k(k+1)+k^2) = \sum_{k=0}^n (3k^2+3k+1)=3\sum_{k=0}^n (k^2) + 3 \frac{n(n+1)}{2} + n+1 $"></DIV><P></P>
Donc
<P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="448" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/8/89885/cv/img4.png" ALT="$\displaystyle \sum_{k=0}^n k^2 = \frac{1}{3} \left( (n+1)^3 - 3 \frac{n(n+1)}{2} - n-1 \right) =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $"></DIV><P></P>
Ouf !<BR>

fefe0 · June 2006

On a

$C^p_k+C_k^p^+^1=C_k^p_+^+_1^1$
d'ou
$\sum_{k=p}^{n}C^p_k=\sum_{k=p}^{n}C_k^p_+^+_1^1-\sum_{k=p}^{n}C_k^p^+^1=\sum_{k=p+1}^{n+1}C_k^p^+^1- \sum_{k=p+1}^{n}C_k^p^+^1=C^p_n^+_+^1_1$
$\sum_{k=0}^{n}k=\sum_{k=0}^{n}C_k^1=C_n^2_+_1= \frac{n(n+1)}{2}$
puis
$\sum_{k=0}^{n}k^2=\sum_{k=0}^{n}k(k+1)-k=\sum_{k=o}^{n}2C_k^2_+_1-k=2C_n^3_+_2-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Yalcin · June 2006

Bonjour

Il y'a plus court ,niveau 1èreS :

On a : $\displaystyle{3k(k - 1) = k^3 - (k - 1)^3 - 1 \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^n {k(k - 1)} = {1 \over 3}\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {k^3 - (k - 1)^3 - 1} \right)} = {1 \over 3}\left( {n^3 - n} \right)}$.

(Suite téléscopique ,les élèves de 1èreS connaissent je crois).

Or $\displaystyle{
\displaylines{
- (n + 1)^2 + {2 \over 3}n + {2 \over 3} + {1 \over 3}(n + 1)^3 = {1 \over 3}(n + 1)^2 \left( {(n + 1) - 3} \right) + {2 \over 3}(n + 1) \cr
= {1 \over 3}(n + 1)\left( {2 + (n + 1)(n - 2)} \right) \cr
= {1 \over 3}(n + 1)(n^2 - n) \cr
= {1 \over 3}\left( {n^3 - n} \right) \cr}}$.

Donc on a bien $\displaystyle{
\sum\limits_{k = 1}^n {k(k - 1)} = - (n + 1)^2 + {2 \over 3}n + {2 \over 3} + {1 \over 3}(n + 1)^3
}$.

Cordialement Yalcin

Cordialement Yalcin

med · June 2006

Salut,

Jolis sont vos 3 méthodes ! et pour ne pas rester passif, j'ajoute la 4ième qui me semble plus directe et généralisable:

$$\sum_{k=1}^{n}k(k-1)$$
$$=\lim_{x\longrightarrow 1}\sum_{k=1}^{n}(x^k)"$$
$$=\lim_{x\longrightarrow 1}(\sum_{k=1}^{n}x^k)"$$
$$=\lim_{x\longrightarrow 1}(\frac{1-x^n}{1-x})^"$$
$$...$$
Généralisation: $p$ un entier fixé.
$$\sum_{k=1}^{n}\product_{i=0}^{p}(k-i)=\lim_{x\longrightarrow 1}(\frac{1-x^n}{1-x})^{(p+1)}$$

Une question importante qui doit venir: Quelle est la dérivée p-ième de:
$$\frac{1-x^n}{1-x}$$
Je cherche.. Merci de ton aide !

Une question marginale :
Comment fait-on pour que les parenthèses englobent bien l'expression :
$$(\frac{1-x^n}{1-x})^{(p+1)}$$

Merci de ton aide.
med

med · June 2006

Salut,\\
\\
Jolis sont vos 3 méthodes ! et pour ne pas rester passif, j'ajoute la 4ième qui me semble plus directe et généralisable:\\
\\
$$\sum_{k=1}^{n}k(k-1)$$\\
$$=\lim_{x\longrightarrow 1}\sum_{k=1}^{n}(x^k)"$$\\
$$=\lim_{x\longrightarrow 1}(\sum_{k=1}^{n}x^k)"$$\\
$$=\lim_{x\longrightarrow 1}(\frac{1-x^n}{1-x})^"$$\\
$$...$$\\
Généralisation: $p$ un entier fixé.\\
$$\sum_{k=1}^{n}\prod_{i=0}^{p}(k-i)=\lim_{x\longrightarrow 1}(\frac{1-x^n}{1-x})^{(p+1)}$$\\
\\
Une question importante qui doit venir: Quelle est la dérivée p-ième de:\\
$$\frac{1-x^n}{1-x}$$\\
Je cherche.. Merci de ton aide !\\
\\
Une question marginale $:\$ \
Comment fait-on pour que les parenthèses englobent bien l'expression $:\$ \
$$(\frac{1-x^n}{1-x})^{(p+1)}$$\\
\\
Merci de ton aide.\\

Alain Debreil · June 2006

med · June 2006

Congratulation ! the paradise !!!

" Nous somme des gens qui ne craignent pas de mourir, pour la libération de leur terre. " abu musab

Ne pensez-vous pas que c'est très rigoloo, quand le président du premier pays dans le monde (Buch), se présente dans les télés et soit fiert d'avoir tuer des gens qui défondent leurs pays avec des calachinkoffs ?!!

C'est vraiment rigoloo ce petit stupid buch, sans oublier ses coupains... Olmart notamment et ...

Réaction spontanée
med

Yalcin · June 2006

med, il y'a des nombres spéciaux qui interviennent a(k,p) :
<http://www.research.att.com/~njas/sequences/A008275>
(p+2)*(sum(product(k-i, i = 0 .. p), k = 1 .. n)) = sum(a[k, p]*(n+1)^k, k = 1 .. p)

med · June 2006

Bonjours Yalcin,

J'avoue n'avoir rien compris du lien que tu m'a donné, c'est très douleureux comme lecture, ça serait trop gentil de ta part si tu m'expliquais brièvement ce que sont ces nombres a(k,p).

Merci quand même

Yalcin · June 2006

ex :
p=5 :
(p+2)*(sum(product(k-i, i = 0 .. p), k = 1 .. n))
=720(n+1)-1764(n+1)^2+1624(n+1)^3-735(n+1)^4+175(n+1)^5-21(n+1)^6+(n+1)^7
et les nombres 720,-1764,1624,...,-21,1 sont sur le lien que j'ai donné

med · June 2006

Ca me parait bizarre, en tout cas je m'y intéresserai plus tard ..
Merci Yalcin
med

Une somme symbolique

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Bonjour!

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