tribu non finie mais denombrable ?
Dans le rudin, le premier exercice a eu mon attention: est-ce qu'il existe une tribu denombrable infinie ?
Intuitivement, j'aurais tendance a dire non car "le plus petit" ensemble infini est N, et en prenant la tribu engendree par les singletons de N, on a quelque chose "gros comme" $N^N$, qui n'est pas denombrable.
Mais je vois pas comment le montrer ? Si qqn a une piste a donner ?
Intuitivement, j'aurais tendance a dire non car "le plus petit" ensemble infini est N, et en prenant la tribu engendree par les singletons de N, on a quelque chose "gros comme" $N^N$, qui n'est pas denombrable.
Mais je vois pas comment le montrer ? Si qqn a une piste a donner ?
Réponses
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On peut classiquement construire une injection de $\P$($\N$) dans la tribu supposée infinie. Pour cela, il est utile de considérer les classes d'équivalence sur l'espace mesurable X définies par la relation : x et y sont équivalents s'ils appartiennent exactement aux mêmes éléments de la tribu. Si la tribu est dénombrable, ces classes d'équivalence sont des éléments de la tribu...
R.
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