2 ptits pb

Pour la deuxième question, on peut considérer l'espace vectoriel de dimension finie $E$ engendré par les fonctions $f_i$, et son dual $E^*$ de même dimension finie.

L'application $\varphi_a : f \mapsto f(a)$ est un élément du dual. De plus, l'espace vectoriel engendré par les $\varphi_a, (a \in \R)$ est $E^*$, en effet, l'orthogonal au sens de la dualité de $vect \varphi_a$ est :

$$\{ f \in E | \forall a \in \R, \varphi_a(f) = 0\} = \{ f \in E | \forall a \in \R, f(a) = 0\} = \{0\}$$

Donc il existe $a_1, \dots, a_n$ tels que les $\varphi_{a_i}$ engendrent $E^*$, et la matrice $(f_i(a_j))$ est alors inversible.

(Une démonstration par récurrence sur $n$ devrait également être possible)

Pour la première question :
$f(\Q)$ est dénombrable comme image de $\Q$ dénombrable; $f(\R\setminus\Q)$ est dénombrable par inclusion; donc $f(\R)$ est dénombrable par réunion; comme $f$ est continue, $f(\R)$ est un intervalle, donc un singleton; ainsi, $f$ a un point fixe : absurde !