Deux exercices posés à l'oral de l'ENS

Je crois que j'avais suggéré cet exo une fois sur le forum sans trouver preneur.
Comme un hyperplan est soit fermé, soit dense, montrons que $E\setminus H$ est connexe (et même connexe par arcs) en supposant $H$ dense.
(ce qui suit est un copier-coller d'un de mes fichiers... je ne sais pas ce que cela va donner)

Montrons la connexité de $E\setminus H$ : Soient $O_{1}$ et $O_{2}$ deux ouverts de $E$ dont la réunion contient le
complémentaire de $H$ dans $E$. On suppose que $O_{1}\cap O_{2}\cap (E\setminus H)=\emptyset$, et que $O_{1}\cap (E\setminus H)\neq\emptyset$.
Soit $a$ un élément de $O_{1}\cap (E\setminus H)$. Le complémentaire de $H$ dans $E$ est la réunion des demi-espaces $C_{1}$
et $C_{2}$ déterminés par $H$, $C_{1}$ étant celui qui contient $a$. Ces ensembles sont convexes, donc connexes. Il résulte
de la non-vacuité de $C_{1}\cap O_{1}$ que $C_{1}$ est inclus dans $O_{1}$. Puisque $O_{1}$ est ouvert, il existe $\rho>0$
tel que $B(a,\rho)\subset O_{1}$. Puisque $H$ est dense dans $E$, on peut trouver un élément $h$ de $H$ dans cette boule.
Posons $b=-\lambda a+(\lambda+1)h$ où $0

Pour le deuxième exercice :

Soit $A$ l'aire de $f(D)$ et si $r0$. Il existe $N$ tel que
$\sum_{n=N+1}^{+\infty} n|a_n|^2 \leq \epsilon$, donc pour tout $0

juste pour dire qu'on peut s'en tirer sans Green-Rieman pour trouver l'expression de $A_r$ en fonction des coefficients de la série entière, avec la formule de changement de variable (calculer un Jacobien simple)

L'esprit du programme de sup/spé (c'est flagrant en MPSI, et en spé le sujet est peu repris) est quand même, dès qu'il s'agit d'intégrales multiples, de courbes, de surfaces, de dire "on suppose que tout marche bien".
De toute façon, l'énoncé lui-même n'est pas irréprochable : a-t-on véritablement une définition rigoureuse de l'aire, dans la phrase "d'aire finie" ?

L'exercice étant tiré du rapport du jury précédent d'Ulm, il est peut-être possible de contacter son auteur pour savoir ce qui était attendu...