recherche bijections

Nicolas2 · June 2006

Je recherche une bijection de [0;1] dans ]0;1[ ,
une autre de [0;1] dans [0;1[,
une autre de [0;1] dans ]0;1].

merci de votre aide

Nicolas

kilébo · June 2006

Tu veux dire une forme explicite ? Ou tu cherches une façon de prouver qu'elles existent ?

dSP0 · June 2006

Pour une bijection explicite de $[0,1]$ dans $[0,1[$ :

associer $\dfrac{1}{n+1}$ à $\dfrac{1}{n}$ pour tout $n \in \N^*$,
et $x$ à $x$ pour tout $x \in [0,1] \setminus \{\frac{1}{n}\;|\; n \in \N^*\}$.

Il suffit d'adapter cette idée pour trouver les autres cas.

Domi · June 2006

l'existence est évidente ( les ensembles ont le même cardinal ) . Pour une forme explicite c'est sûrement plus délicat .

Domi

Domi · June 2006

Bien vu dSP ,

si on note $f$ ta fonction et $g = 1 - f$ alors :

$g$ est une bijection de [0,1] dans ]0,1] .

$gof$ est une bijection de [0,1] dans ]0,1[ .

Domi

oblooh0 · June 2006

Salut Nicolas,

Je crois avoir trouvé une bijection de [0,1] dans [0,1[ (c'est un début) :

Soit u$_n$ la suite : u$_0$ = 0, et si n $\geq$ 1 : u$_n$ = 1 - 1/$2^n$.
Si x $\in$ [u$_n$, u$_{n+1}$[ (n $\in$ $\N$) : f(x) = 1 - u$_{n+1}$ + x
f(1) = 0.

Je réfléchis aux autres cas mais ça devrait être plus facile à partir de ça.

oblooh0 · June 2006

La méthode de Domi marche pour la fonction que je propose... mais pas pour celle (que j'aime beaucoup) de DSP.

En effet, la mienne envoit 1 sur 0, et donc fo(1-f) est une bien une bijection de [] sur ][.

Celle de DSP envoit 1 sur 1/2, et donc fo(1-f) a pour image ]] - $\{ 1/2 \}$.
Mais celle de DSP est tellement flexible qu'il n'y a pas de problème pour y arriver, il suffit d'envoyer 0 sur 1/2, 1 sur 1/4, ensuite 1/2 sur 1/8, etc.

Nicolas2 · June 2006

Je voulais bien sûr des formes explicites et je les ai un grand merci donc à vous dSP, Domi, oblooh.

Nicolas

nico8 · June 2006

je suis desole oblooh, mais je pense que ta fonction n'est pas une bijection :
sur chaque intervalle [u$_n$, u$_{n+1}$[, ta fonction tend vers 1, et prend donc plusieurs fois les memes valeurs sur [0,1]

sinon nicolas, je trouve que la forme de dSP est plutot explicite
en plus tu ne pourras pas trouver de telles bijection continues, ni meme continues par morceaux