differentielle

C'est un excellent exercice de calcul différentielle pour vérifier la bonne compréhension du théorème de composition de fonctions différentiables. Cet exercice n'a d'autre intérêt que pédagogique.

Il serait donc stupide que nous te le corrigeions dans son intégralité. Contentons-nous du premier point, cela suffira.

Sous forme différentielle :
$g = f o \phi$ où $\phi : \R^2 \to \R^2, (x, y) \to (y, x)$. Donc $d(g)(x, y) = df(\phi (x,y)) o d\phi (x, y) (h, k) = df(y, x)(k, h)$

Et maintenant par l'utilisation des dérivées partielles (avec $\phi(x, y) = (\phi_1(x, y), \phi_2(x, y)) = (y, x)$) :
$\left( \partial{}_1 g \right) (x,y)$ $ = \left( \partial{}_{1} f \right) (y,x) \partial_1 \phi_1 (x,y) + \left( \partial{}_{2} f \right) (y,x) \partial_1 \phi_2 (x,y)$ $ = \left( \partial{}_{2} f \right) (y,x) $.

C'est à dire, par convention (très trompeuse), $\frac{\partial g}{\partial x} (x,y) = \frac{\partial{} f}{\partial y} (y, x)$

De même $\frac{\partial g}{\partial y} (x,y) = \frac{\partial{} f}{\partial x} (y, x)$

Remarquons que ces résultats auraient pu être obtenus par simple utilisation des définitions (sans passer donc par le théorème de composition d'applications différentiables).

Sauf erreurs...

Je me suis fait la même réflexion !

Ne paniquez pas ! Zohra est marocaine d'après son IP et au Maroc il y a pas mal de choses au programme de terminale qui ne se voient qu'en sup en France. De là à dire qu'on vit dans un pays de sous-doués, euh.. je vous laisse juger.

Comme pour tout bon problème de maths qui se respecte, j'avais la solution sous les yeux et j'étais incapable de la voir...

Le Barbu Rasé, on va dire qu'on n'avait que la moitié de la solution