diffeomorphisme local

Xavier1 · June 2006

bonjour,

Je me pose quelques questions sur cette notion qd on est en dimension finie.

Dans un cours, il est indiqué:

"Soit E et F 2 espaces de Banach en dimension finie.

Df(a) appartient à Isom[E,F) si/si le Jocoben de f en a est non nul".

Dans le même ordre d'idée, "si jacobien de f en a est non nul, alors f est un difféomorphisme local en a?"

Je suis un peu surpris ...Pouvez-vous me renseigner, svp?

Merci pour vos futures réponses

A+

Laurent24 · June 2006

Plus précisément, tu as le Théorème d'Inversion locale qui te dit que si ta différentielle DaF est non-nulle en un point a d'un ouvert U de R^n, alors tu peux trouver un ouvert V contenant a inclus dans U tel que f soit un difféomorphisme local de V sur f(V).
Pour ce qui est du jacobien, c'est le déterminant de la matrice jacobienne de f en a, s'il est non-nul, cela implique que ta différentielle est non-nulle en a et donc ton difféomorphisme local.
J'espère que cela t'aura avancé !
Cordialement,

Laurent

Nouveau_ici · June 2006

Euh non, ce n'est pas parce que la différentielle est non nulle que tu peux construire ton difféomorphisme. Il faut que la différentielle soit un isomorphisme, ce qui n'est pas la meme chose. En dimension finie c'est équivalent a dire que le det de la matrice jacobienne est $\neq$ 0.