fonctions holomorphes
Soit O un ouvert de C(les nombres complexes) et a un élément de O.
Soit f une application définie sur O à valeurs dans C.
On suppose f holomorphe en z=a alors f va-t-elle être aussi nécessairement dérivable sur O?
Je pose cette question car dans mon dico de math préféré je lis, avec les hypothèses précédentes :
si f est dérivable en z=a alors f est indéfiniment dérivable en z=a et j'ai des doutes sans d'ailleurs trouver de contre-exemple.
Le problème étant déjà que pour être 2 fois dérivable en z=a il est nécessaire que f' soit définie sur un ouvert contenant a d'où ma question.
J'attends vos lumières
Soit f une application définie sur O à valeurs dans C.
On suppose f holomorphe en z=a alors f va-t-elle être aussi nécessairement dérivable sur O?
Je pose cette question car dans mon dico de math préféré je lis, avec les hypothèses précédentes :
si f est dérivable en z=a alors f est indéfiniment dérivable en z=a et j'ai des doutes sans d'ailleurs trouver de contre-exemple.
Le problème étant déjà que pour être 2 fois dérivable en z=a il est nécessaire que f' soit définie sur un ouvert contenant a d'où ma question.
J'attends vos lumières
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Réponses
Prend une fraction rationnelle par exemple, et un ouvert qui contient les pôles...genre 1/z sur le disque unité.
sinon, tu peux prendre z->1/z sur le complémentaire du disque unité
et z-> z* (conjugué) à l'intérieur de ce disque.
La fonction est continue, holomorphe partout sauf dans le disque unité ouvert
après, il est vrai que si f est dérivable (et pas différentiable!), alors elle l'est un nombre infini de fois.
le poulpe
(qui espère ne pas dire trop de co** comme dit l'autre)
En fait f holomorphe en z=a signifie que que f est définie dans un voisinage O de a et qu'elle est dérivable en z=a. par négation, f non holomorphe en z=a voudra dire que soit f n'est définie sur aucun voisinage de a soit que f est définie sur un voisinage de a mais n'est pas dérivable en z=a)
Doù l'implication f dérivable en z=a ====> f 2 fois dérivable en z=a voudrait dire que f' est définie dans ouvert O'(donc f holomorphe dans un voisinage de a) inclus dans O, contenant a et que f' est dérivable en z=a donc la question en fait est la suivante
Si f est holomorphe en z=a est-elle nécessairement holomorphe dans un voisinage de a? Car alors on sait que f étant holomorphe sur un ouvert simplement connexe (disque) elle sera indéfiniment dérivable au sens complexe sur cet ouvert donc en particulier indéfiniment dérivable en z=a.
Si on veut un contre-exemple, en vertu de la négation signalée plus haut il faut que
soit f, qui est holomorphe en z=a, ne soit pas dérivables en une suite de points a(n) qui converge vers a i.e. f' n'est définie sur aucun voisnage de a
soit que f' soit définie dans un voisinage de a et non dérivable en z=a.
Merci le poulpe pour la seconde fonction qui m'intéresse au plus haut point .
La fonction $|z|^2$ répond à ta question je pense youguy, elle n'est "holomorphe", ou en tout cas $\C$-dérivable, qu'en l'origine. De plus elle est différentiable mais pas deux fois différentiable en l'origine.
NB : c'est pour éviter ce genre de pathologies qu'on définit souvent une fonction holomorphe comme une fonction $\C$-dérivable en tout point d'un {\it ouvert}.
Une autre question voisine intéressante concernant la question du prolongement holomorphe d'une fonction.
Plus précisément si une fonction f est holomorphe sur un ouvert O privé du point a et si elle admet un prolongement par continuité en a alors ce prolongement est holomorphe(je pense que c'est vrai, j el'ai prouvé au brouillon,reste à le mettre au propre)
exemple f(z)=(z^n-1)/(z-1) =(si z< ou>0) 1+z+z^2+z^3+....z^(n-1) n'est pas définie en z=1 mais a clairement n pour limite en 1 et avec ce prolongement par continuité en z=1 f est holomophe en 1(ce qui se prouver d'ailleurs directement avec le binôme de Newton)
si je comprends bien, la fonction : z--->l z l^2= ( x^2 + y^2 ) + i.0, définie sur C, est une fonction holomorphe uniquement en 0; les conditions de Cauchy-Riemann ne sont effectivement vérifiées qu'en ce point.
la notion d'holomorphie en un point existe bien, même si elle paraît peu intéressante.
merci de justifier, " de plus elle est différentiable , mais pas deux fois différentiable , à l'origine ", par calcul ou théorème. ( egoroff, certainement que j'abuse,mais la question de youguy et ton contre-exemple me séduisent)
certainement, me suis-je mal exprimé .
toute justification de la remarque d'egoroff émanant de qui que ce soit me donnera entière satisfaction.
merci
youguy : Ton résultat de prolongement est vrai, il résulte de la classification des singularités pour une fonction holomorphe. Si $f$ est holomorphe sur $\Omega \setminus \{ a \}$ avec $a \in \Omega$ alors on est forcément dans une et une seule des trois situations suivantes :
- $f$ est bornée au voisinage de $a$ : dans ce cas $f$ admet un prolongement par continuité en $a$ et qui plus est ce prolongement est holomorphe. On parle dans ce cas de singularité effacable ou artificielle, ou fausse singularité, ou je ne sais quoi.
- Il existe un entier $m > 0$ tel que $(z-a)^m f(z)$ ait une singularité effacable en $a$ ; on parle alors de pôle, d'ordre $m_0$ où $m_0$ est le plus petit entier $m$ admissible.
- L'image de tout voisinage de $a$ est dense dans $\C$, la fonction $f$ a alors un comportement "sauvage" en $a$ et on parle de singularité essentielle.
Pour plus de précisions voir par exemple \lien{http://www.les-mathematiques.net/a/a/u/node4.php3}.
bs : Pour cette histoire de différentiabilité j'ai un peu déliré désolé, en fait la fonction est $C^{\infty}$ au sens réel puisque c'est un polynôme en les coordonnées ! J'espère que je ne t'ai pas trop mis le doute...
t'inquiète pas egoroff, le week-end a été bon, merci.
c'est bien de rappeler la classification des singularités isolées dont le chaotique troisième cas de Casaroti-Weierstrass.
je rajoute isolé car Pabion pour la fonction f(z) = $(1/z^2) . tan(1/z)$ parle de singularité non isolée en zéro; et là,??? où trouver plus d'informations sur ces autres singularités?
trop content ,Latex a fonctionné