Démonstration de 0!=1
Réponses
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Je pensais que c'était juste une convention $0!=1$, pour éviter de mettre à part le cas $0$ dans les formules comme le binôme de Newton.
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bonjour
il faut partir de l'intégrale paramétrée (égale à Gamma(1+n)) :
intégrale de 0 à l'infini de exp(-t).t^n.dt=n!
une récurrence permet de trouver ce résultat classique
pour n=0 l'intégrale donne 1 et donc 1=0!
cordialement -
Jean Lismonde, dans l'étude de Gamma, on remarque "pour la route" que la restriction de Gamma aux naturels est la fonction factorielle, mais la définition mathématique (pas historique) de la factorielle est antérieure à celle de Gamma non ?
J'ai toujours entendu dire que qu'on posait ça pour que ca marche bien dans les séries, les sommes, etc, ou l'on a toujours du chipottage à faire pour que le premier terme marche, ou pour qu'une expression soit aussi valable en n=0 sans avoir à baratiner une demi page pour pas grand chose. -
Bof, Jean, c'est pas vraiment convaincant (même s'il y a des intégrales, comme demandé).
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est-ce que l'argument que $ \Gamma(z) $ est holomorphe sur $ \mathbb{C}-\mathbb{Z}_-^* $, d'où continuité, d'où la "factorielle" de 0 égale à 1 te convient ?
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Jean Lismonde, à l'initialisation de la récurrence dont tu parles, il va être nécessaire de vérifier que $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}e^{-t}dt=0!$ donc on tourne en rond... Tout simplement parce que vouloir démontrer une convention n'a pas vraiment de sens.
$0!=1$ est bel et bien une convention comme l'ont fait remarquer greyeu et Hugo_! -
Bonsoir (je reviens de la féria
,
outre les considérations sur gamma, je crois que la factorielle peut être définie classiquement par récurence (comme une suite), à savoir :
- 0!=1
- pour tout n€N, (n+1)!=n!(n+1).
0!=1 est plus qu'une convention, c'est l'initialisation !
Arthas -
Je sens qu'on va encore tomber dans un débat sans fin comme pour $0^0$... Mais au risque de voir ma boîte mail inondée je participe : on peut "voir" $n!$ comme le cardinal de l'ensemble des bijections d'un ensemble à $n$ éléments dans lui-même (tout comme $p^m$ peut être vu comme le cardinal de l'ensemble des applications d'un ensemble à $m$ éléments vers un ensemble à $p$ éléments). Comme il y a une et une seule permutation de l'ensemble vide, la permutation vide, on en "déduit" que $0!=1$. Je vois d'ici vos objections.. alors je précise que je ne suis en aucun dogmatique, mon "voir" et mon "déduire" n'ont pas de signification mathématique précise, mais il s'agit d'expliquer et de motiver une {\it convention}.
Plus prosaïque, mais néanmoins convainquante : l'explication d'Arthas ci-dessus. -
Salut,
C'est une convention qui permet de simplifier les formules c tt, exp:
$$C_n^p=\frac{n!}{p!(n-p)!}$$
Pour p=0 pex:
$$C_n^0=\frac{n!}{0!(n)!}=1$$
Alors on prend la convention: $0!=1$
med -
utilise tout simplement la fonction euleurienne Gamma et l idendite :
$\Gamma{x+y)=\Gamma(x)\Gamma(y)$
groupes des Cauchy -
Wow. De mon côté, j'avais envie de dire que c'était une convention qui venait du produit :
n! := produit des i pour i dans I,
avec I := l'ensemble des entiers naturels k tq 1 <= k <= n.
Si n = 0, le produit s'effectue sur un ensemble d'indice qui est l'ensemble vide et vaut alors 1 par convention.
Mais après vous avoir tous lu, je n'en suis plus si sûr. ^_^ -
Pour ma part les arguments de continuité dans le cas d'une suite ne m'impressionnent pas beaucoup. D'ailleurs il y a une infinité de fonctions définies sur R ou C et dont la restriction à $\mathbb N ^*$ coïncide avec $n!$.
Pour ma part j'ai toujours considéré comme assez naturel le fait que le produit de rien du tout soit égal à 1 (élément neutre de X), de même que la somme de rien du tout vaut 0.
$\sum_{i\in \emptyset}f(i)=0$
$\prod_{i\in \emptyset}f(i)=1$ -
SadYear,
c'était la déf de Bourbaki (à un détail près, produit des i+1 pour les i<n), donc ils démontraient 0!=1. De plus ils démontrent (je crois que ça vient d'Artin) qu'il existe une unique fonction convexe g définie dans ]0, [ vérifiant g(1)=1 et g(x+1)=x.g(x) (la fonction gamma, d'où n!=gamma(n+1)). -
Ne vous acharnez pas à trouver une telle démo, parcequ'il n'existe pas ! il nous ont appris que c'est une convention qui simplifie les formules en combinatoire et c'est tout.
med -
ce serait comme vouloir "démontrer la règle des signes" : on ne peut guère qu'en donner des justifications.
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J'ai toujours beaucoup de peine quand je constate que des intervenants des plus estimables utilisent le mot convention.
Une convention est un accord officiel passé entre des individus, des groupes sociaux ou politiques, des États. Ce mot n'a pas de sens en mathématiques.
En mathématiques, il y a des définitions, des propositions, des preuves. $0! = 1$ par {\bf d\'efinition} de la factorielle.
Il existe d'ailleurs plusieurs définitions de $n!$ (par chance, elles sont toutes équivalentes, ce qui n'est pas le cas de différentes définitions de corps ou d'anneau, par exemple). Le plus souvent (quasiment toujours), on définit la factorielle comme l'a fait Arthas. Il m'est arrivé une fois de lire un livre où $n!$ était défini comme le nombre de bijections d'un ensemble à $n$ éléments. On pourrait aussi la définir par $n!=\int_0^{+\infty}e^{-t}t^ndt$. Dans tous les cas le résultat est vrai par définition. Sihem, quelle est ta définition de la factorielle ? (si elle était standard, tu ne te poserais pas cette question). -
Bonjour,
Même si je suis {\it d'accord} avec le message de {\bf Le barbu rasé}, il me semble qu'une précision peut être apportée.
Une {\bf convention} me semble être une {\it définition} énoncée pour étendre une définition existante à un cas particulier supplémentaire, avec une dose d'arbitraire, parce que c'est utile dans un contexte particulier.
Je m'explique.
Avec les deux définitions :
{\bf (1)} $\forall n\ge 0,\quad n!=\int_0^{+\infty}e^{-t}t^ndt$
{\bf (2)} $\left\{\begin{array}{l}0!=1\\\forall n\ge 1,\quad n!=n\cdot(n-1)!\end{array}\right.$
la question ne se pose pas.
En revanche, avec les deux définitions :
{\bf (3)} $\forall n\ge 1$, $n!$ est le nombre de bijections d'un ensemble de cardinal $n$ dans lui-même (la notion de fonction définie sur un ensemble vide me semble délicate)
{\bf (4)} $\forall n\ge 1,\quad n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot(n-1)\cdot n$
$0!$ n'est pas définie.
Or cette grandeur intervient (dans l'ordre chronologique des leçons au lycée) dans ${n\choose p}$.
Pour avoir une définition simple des ${n\choose p}$, on {\it définit} $0!$ par $1$.
Dans le cas de $0!$, le choix est facile.
Mais il existe des définitions dont la pertinence relève du contexte.
Par exemple, en général, on pose $0^0=1$, mais il existe des cas où il fait plus de sens de poser $0^0=0$.
C'est peut-être en raison de la petite part d'arbitraire dans l'extension d'une définition simple qu'on nomme ces définitions particulières des conventions.
Ce n'est qu'un point de vue...
Cordialement,
Nicolas -
Salut,
Le barbu rasé: comment affirmez-vous que la convention n'a pas de sens en mathématique, comment peut-on alors distinguer le sens trigonométrique d'un cercle triangulaire?!
Il ne faut pas compliquer les choses, 0!=1 est bonne convention, et c'est tt.
Ce n'est qu'une opinion.
med -
<BR>J'avoue ne pas maîtriser la notion de <I>cercle triangulaire</I>... ;-)<BR>
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GG : De plus ils démontrent (je crois que ça vient d'Artin) qu'il existe une unique fonction convexe g définie dans ]0, inf[ vérifiant g(1)=1 et g(x+1)=x.g(x) (la fonction gamma, d'où n!=gamma(n+1)).
Une unique fonction logarithmiquement convexe.
Je crois que la preuve traîne quelque part dans le Rudin. -
Bonsoir
J'aimerais apporter quelques nuances.
Pour moi, une convention est une règle en accord avec les règles préexistentes (pas forcément une définition). Elles doivent se conformer au contexte.
Le sens du cercle trigo, par exemple.
Dans le corps $\R$, on peut poser $0^0=1$, ce qui est justifié par un prolongement par continuité.
Parcontre, si $0^0=0$, on a $0^{-0}=0^{-1}=0$ ce qui est contraire au lois d'un corps (0 n'est pas son propre inverse, puisqu'il n'en a pas). Je me demande quand on trouve utile de poser $0^0=0$.
Mais quand elles sont bien placées, elles peuvent effectivement étendre des définitions.
Ensuite, on peut remarquer des équivalences de définitions etc.
Un exemple : ln et exp.
Pour finir, voici une phrase qui illustre mon propos : convention jusqu'à preuve du contraire.
Arthas -
Arthas : Dans le corps $\R$, on peut poser $0^0=1$, ce qui est justifié par un prolongement par continuité.
La question qui se pose est ... la continuité de quoi ?
Parce que si on arrive bien à définir $x^y := e^{xln(y)}$ sur $(\R^+)^2$, on remarque que pour $x>0$ et $y>0$: $$\lim_{y\rightarrow 0}(\lim_{x\rightarrow 0}e^{xlny})=\lim_{y\rightarrow 0}1=1$$
$$\lim_{x\rightarrow 0}(\lim_{y\rightarrow 0}e^{xlny})=\lim_{x\rightarrow 0}0=0$$
Prolonger par continuité cette fonction en $(0,0)$ me semble du coup un peu osé.
SadYear
17'5 n1c3 70 83 1mp0r74n7, 8u7 17'5 m0r3 1mp0r74n7 70 83 n1c3. -
J'ai du mal à comprendre comment vous pouvez
simultanément tomber d'accord sur la définition de $0!$ par les produits et douter de celle de $0^0$. Par définition, $x^n$ est le produit $\underset{1 \leq k\leq n}{\prod}x$.
Devinez ce que cela donne si on prend $n=0$ ... -
Je dis juste que prolonger par continuité en 0 n'est pas un argument valide à mes yeux.
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Mon message ne s'adressait pas à toi, SadYear.
Ta remarque sur le prolongement par continuité est fort pertinente. -
Bonjour
Je parlais de prolonger par continuité la fonction f de $\R$ dans $\R$ qui à x associe $x^{x}=e^{xlnx}$. Comme $xlnx$ tend vers 0 en 0, la fonction tend vers 1 en 0.
On peut donc prolonger f par continuité et $0^0$=1.
Nul besoin de recourrir à deux variables, et cela ne pose aucun problème avec la structure de $\R$.
Maintenant, si on se place dans $\N$, on doit suivre les règles de $\N$, c'est à dire les axiomes de l'arithmétique, dont celui de récurence (c'est ce que cache les petits points, les sigmas, les produits...).
Et la fonction puissance dans $\N$ est, me semble t'il, défini par récurence.
Je crois même qu'elle est formellement plus complexe à définir que dans $\R$.
Arthas -
Tu peux aussi prolonger par continuité la fonction g (définie à priori sur $R^{+*}$ seulement) : $g(x) = 0^x = 0$.
Comment choisir entre 'ta' définition et 'ma' définition de $0^0$ ?
Note : Si un modo pouvait corriger l'horreur/erreur que j'ai écrite quelque part un peu plus haut ($y^x := e^{xln(y)}$)... Merci d'avance.
SadYear
17'5 n1c3 70 83 1mp0r74n7, 8u7 17'5 m0r3 1mp0r74n7 70 83 n1c3. -
Oui, je suis d'accord, ce n'est pas un argument pour choisir, mais je trouve toujours que $0^0=0$ est problématique pour les raisons que j'ai donnée précedemment, car je pense que les fonctions puissances se doivent de vérifier au moins (1) (x^y)^z=x^(yz).
Je définirais l'application puissance de ${\R}²$ dans $\R$ pour $x\geq0$ comme ceci :
$x^{y}=e^{ylnx}$ si $x\neq0$ $x^y=0$ si x=0 et $y\neq0$ et $0^0=1$.
La fonction n'est pas continue, mais elle vérifie (1).
Arthas
Cette discussion a été fermée.
Bonjour!
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