Trouver le maximun

Walde · June 2006

Trouver le valeur maximun de $f(x)= 2^{-x} + 2^{-\frac{1}{x}}$ dans
$]0,~\infty[$.

Richard André-Jeannin · June 2006

A premiière vue, pour x=1.

Walde · June 2006

En effet, je pense aussi. Avec quelque experiments avec Maple, je suis bien coinvaincu que doit etre 1 le maximum.
<BR>
<BR>Par contre, appliquer les critere classiques, j'ai du mal au cause de que sa derive est un equation tres dure.<BR>

ikazamayldr · June 2006

on pourait aussi essayer d'exprimer la fonction grace à des exponentielles, peut etre ca faciliterait la tache.

Aleg · June 2006

puisque $f(1/x)=f(x)$ on peut restreindre le problème à l'intervalle $]0;1]$ (ou $[1;+\infty [$ évidemment), mais je ne sais pas s'il en devient plus simple..

P.Fradin · June 2006

Soit $f(x)=2^{-x}+2^{-1/x}$ sur $]0;1]$,
on a $f'(x)=\ln(2)2^{-x}g(x)$, avec $g(x)=-1+\frac1{x^2}2^{x-\frac1x}$, on a $g'(x)=2^{x-\frac1x}h(x)$ avec:
$h(x)=\frac{x^2 \ln(2)-2x+\ln(2)}{x^4}$, le signe de $h$ est facile à étudier sur $]0;1]$, on en déduit les variations de $g$ puis le signe de $f'$:

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