système simple

Clément A · May 2006

Bonjour,

Je n'arrive pas à transformer de "manière propre" le petit système suivant :
Le but est de trouver x et y en fonction de u et v.

{u=x/(x²+y²) et v=-y/(x²+y²) }

(je connais la réponse ce n'est pas cela qui m'intérresse c'est la petite transformation ou proprièté qui permet d'y arriver qui m'intéresse.)
Merci par avance et bonne fin de journée.

Le barbu rasé · May 2006

Pourquoi ne pas tout simplement noter $F : \R^2->\R^2$ avec $F(x,y)=(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2})$ et calculer $F o F$ ?

Le barbu rasé · May 2006

ah zut j'avais pas vu le moins

Le barbu rasé · May 2006

cela dit ça ne change rien du tout ^_^

Le barbu rasé · May 2006

Bon tu me diras, c'est peut-être pas évident, comme idée.

Essayer de calculer $u^2+v^2$ est peut-être plus "évident", au vu de la geule de u et v.
Une fois qu'on a simplifié $u^2+v^2$, le résultat tombe tout seul, non?

Le barbu rasé · May 2006

> au vu de la gueule de u et v.

si un modérateur avait l'obligeance (que dis-je, la bonté) de corriger, je serais aux anges (surtout s'il rajoute un moins dans mon message initial et supprime les deux suivants).

SadYear · May 2006

On peut aussi poser z = x + iy et Z = u + iv pour remarquer que zZ = 1. Ainsi (x, y) est à (u, v) [z est l'inverse de Z] ce qu'est (u, v) est à (x ,y) [Z est l'inverse de z].

Et il suffit alors d'échanger formellement (u, v) et (x, y) dans les relations donnant (u, v) en fonciton de (x, y) pour obtenir les relations donnant (x, y) en fonction de (u, v).

Mais c'est peut-être compliquer l'exercice pour rien, puisque les calculs du barbu rasé fonctionnent très bien (au signe moins près). ^_^

ericcc · May 2006

Dans la même veine, on peut poser x=rcost et y=rsint. C'est une méthode intermédiaire entre les deux...

GPP29 · May 2006

Bonjour,
La transformation T : (x,y) ==> (u,v) est le produit d'une inversion H, de centre l'origine et de puissance 1 et d'une symétrie S par rapport à l'axe des x.

Ces transformations ont les propriétés suivantes :
S°H = H°F (elles commuttent)
H°H = S°S = I (I = identité : H et S sont chacune leur propre inverse)

On a donc S°H°S°H = I et la transformation T est sa propre inverse.
Les formules qui font passer de (u,v) à (x,y) sont les mêmes que celles qui font passer de (x,y) à (u,v)