Exo pas évident intégrale

Bonjour,

Moi aussi j'ai des questions :
Peux-tu établir l'encadrement suivant ?

$$ 0 \leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } f(t)sint(t)dt \leq \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } f(t)dt $$

Si oui, tu peux considérer l'application $ F : c \rightarrow \int_{0}^c f(t)dt$.
Quells valeurs prend $F$ en $0$ et en $\frac{\pi}{2}$ ? Peux-tu conclure en utilisant la régularité de $F$ ?

Cet exo me semble faux. Si tu prends $f$ egale a $-1$ sur $[0;\frac{\pi }{4} - \epsilon ]$ et $1$ sur $[\frac{\pi }{4} + \epsilon ;\frac{\pi }{2}]$ (et continue et affine sur le petit intervalle restant), l'integrale de gauche est assez nettement positive et celle de droite me semble negative pour tout valeur de $c$.

C'est un cas particulier de la deuxième formule de la moyenne : prendre pour autre fonction $g(t)=1-\sin t$ qui est bien monotone sur I.

Comment modifier l'énoncé de tortoise alors ?

En rajoutant la positivité de $f$,
ou en remplaçant $sin$ par $cos$,
ou en remplaçant le terme de droite par $f(c)$...

Qu'est-ce que vous pensez de l'intérêt d'un exercice du style :

" 1. Que pensez-vous de l'énoncé suivant ...
2. Comment rectifier l'énoncé ? "

P. Fradin a tout dit pour ce qui est du problème initial qui est bel et bien incorrect et doit être corrigé comme il l'a suggéré ie en remplaçant à droite l'intégrale qui va de 0 à c par celle qui va de c à pi/2. C'est bien une application directe du second théorème de la moyenne. Ce qui permet de valider le résultat avec cos c'est sa décroissance sur le segment [0,pi/2] contrairement à sin qui est croissante sur le même intervalle et c'est donc la borne sup de l'intervalle qui doit être remplacée par c et on multiplie l'intégrande par la valeur de sin en pi/2.