exponentielle

geo · May 2006

bonjour

voila j'ai deux questions concernant la leçon 80 caractérisation des fonctions expo .....

1) dans cette leçon comment montrer rigoureusement (avec des epsilons car ) (en fait j'ai fait un truc mais c'est un peu bizarre)

que si un morphisme de $(\mathbb{R},+) $ dans $(\mathbb{R}_{+}^{*})$ est continue en un point alors il est continue partout ?

2) comment montre t'on les limites sans avoir recours à l'exponentielle de base $e$?

merci

geoffrey

le poulpe · May 2006

par translation supposons le morphisme u continu en 0

tu utilises u(x+h) = u(x)u(h) -> u(x) u(0) lorsque h tend vers 0 par continuité en 0

Or u est un morphisme donc u(0) = 1 et u est continue en x.

ps : n'essaye pas les epsilons sur ce coup, ça va t'embrouiller plus qu'autre chose

petit prolongement : morphismes continus de (R +) dans (GL_n(R),x) ?

Aleg · May 2006

bonsoir geo,

pour le 1), en supposant qu'on ait montré que $f$ est continue en $0$ avec $f(0)=1$, tu peux après utiliser le fait que, à $x$ fixé
$$|f(x+h)-f(x)|=|f(x)|\,|f(h)-1|$$
et $|f(h)-1|$ peut "être rendu aussi petit qu'on veut" etc...

pour le 2), tout dépend de la définition adoptée pour les exponentielles. Moi, j'ai appris les exponentielles au lycée à partir des logarithmes, donc les limites des exponentielles s'obtenaient très facilement. Maintenant, il semble qu'on procède autrement : consulte un bouquin de terminale S pour voir ce qu'on y fait...

dark_phoenix · May 2006

Désormais l'exponentielle au lycée est définie comme étant l'unique fonction de $\R$ dans $\R$ qui soit dérivable sur $\R$, partout égale à sa dérivée, et qui prenne la valeur 1 en 0.

exponentielle

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