logarithme

as-tu défini {\bf au préalable} la fct exponentielle ? sinon, je ne comprends pas ce que tu appelles $x^y$ avec $x>0$ et $y\in \R$.

bonsoir geo,
alors dans ce cas, je te conseille de procéder ainsi :

-étape 1 : les logarithmes vérifient $f(x^{r})=rf(x)$ pour $x>0$ et $r$ rationnel (fait).

-étape 2 : la fct $\ln $ (mais ça marche aussi avec n'importe quel logarithme) réalise un homéomorphisme de $]0,+\infty[$ sur $\R $, d'où l'homéomorphisme réciproque : l'exponentielle (de base $e$ dans mon exemple).

-étape 3 : dans l'égalité $\ln (x^r)=r\,\ln x$, on remarque que le membre de droite a un sens clair même lorsque $r$ est {\bf réel} non rationnel, disons $r=y\in \R$. On est donc conduit à définir $x^y$ comme l'unique réel (positif) dont le logarithme népérien vaut $y\,\ln x$, c'est-à-dire le réel $e^{y\ln x}$ par définition.
D'où une définition rigoureuse de $x^y$ et la propriété voulue qui en constitue en fait cette définition.