Convergence de série
Réponses
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Pardonnez moi , la formule est inexacte
il s'agit de
$u_n=(-1)^n/n S_n$
avec $S_n$ ayant l'expression donnée précédemment sous le signe SIGMA .
$S_n$ converge vers LN(2) et je pensais appliquer le Théorème spécial des séries alternées mais $S_n/n$ converge bien vers 0 mais sans décroître ....
Si vous avez une idée , merci d'avance .
Madec -
Alors si on écris dans un Latex compréhensible, cela donne : $$u_n=\frac{(-1)^n}{n}S_n=\frac{(-1)^n}{n}\sum_{i=1}^n\frac{(-1)^{i+1}}{i}$$
Je réfléchis encore à ta question. -
On récapitule : on pose $\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n \frac{(-1)^{i+1}}{i}$ et $\displaystyle u_n=\frac{(-1)^n}{n}S_n$, et on étudie la série de terme général $u_n$ ?
-
bonjour
la convergence de la série alternée n'est pas douteuse
en effet le terme général pour n grand est équivalent (assimilable) à (ln2)(-1)^n/n
la limite de la série est proche de ln²2
cordialement -
On ne peut pas se contenter des équivalents quand le terme général n'est pas de signe constant, il me semble.
<BR>Toutefois on a l'inégalité
<P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="143" HEIGHT="50" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88919/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle \vert S_n - \log 2\vert \leq \frac{1}{n+1} $"></DIV><P></P>
Qui permet sauf erreur de tuer l'exo.<BR> -
En fait, pour être un peu plus précis que jean lismonde, on peut écrire que $S_n=\ln(2)+O(\frac{1}{n})$ donc $u_n=\frac{(-1)^n}{n}\ln(2)+O(\frac{1}{n^2})$ ce qui permet de conclure à la convergence de la série en utilisant le critère des séries alternée pour le premier morceau et la comparaison avec une série de Riemann pour la seconde.
Ensuite, pour ce qui est de la somme, on peut réexprimer le terme général à l'aide d'intégrales et je pense avoir conclu non sans mal que la somme vaut : $-\frac{\pi^2}{12}-\frac{\ln(2)^2}{2}$ -
Merci pour vos réponses et également à ceux qui ont remis le Latex "d'équerre" .
Madec
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