Convergence de série

Alors si on écris dans un Latex compréhensible, cela donne : $$u_n=\frac{(-1)^n}{n}S_n=\frac{(-1)^n}{n}\sum_{i=1}^n\frac{(-1)^{i+1}}{i}$$

Je réfléchis encore à ta question.

bonjour

la convergence de la série alternée n'est pas douteuse

en effet le terme général pour n grand est équivalent (assimilable) à (ln2)(-1)^n/n

la limite de la série est proche de ln²2

cordialement

En fait, pour être un peu plus précis que jean lismonde, on peut écrire que $S_n=\ln(2)+O(\frac{1}{n})$ donc $u_n=\frac{(-1)^n}{n}\ln(2)+O(\frac{1}{n^2})$ ce qui permet de conclure à la convergence de la série en utilisant le critère des séries alternée pour le premier morceau et la comparaison avec une série de Riemann pour la seconde.

Ensuite, pour ce qui est de la somme, on peut réexprimer le terme général à l'aide d'intégrales et je pense avoir conclu non sans mal que la somme vaut : $-\frac{\pi^2}{12}-\frac{\ln(2)^2}{2}$