Fonction de deux var C1
Bonjour,
j'ai un petit problème avec la fonction suivante :
$f(x,y)=\dfrac{x^4y^4}{(x^2+y^4)^3}$, prolongée à l'origine par $f(0,0)=0$.
Un thérorème dit : "une fonction dont les dérivées partielles première et seconde sont continues (dite alors de classe $C^1$) est différentaible"
ce qui implique qu'elle soit continue.
Par contraposée, puisque $lim_{t\to 0}f(t^2,t)=\dfrac18\neq 0=f(0,0)$, $f$ n'est pas de classe $C^1$ au voisinage de 0. Donc une dérivée partielle doit être discontinue quelque part au voisinage de 0.
J'ai beau chercher, je ne vois de discontinuité nulle part. Pourvez-vous m'aider ? Merci d'avance.
j'ai un petit problème avec la fonction suivante :
$f(x,y)=\dfrac{x^4y^4}{(x^2+y^4)^3}$, prolongée à l'origine par $f(0,0)=0$.
Un thérorème dit : "une fonction dont les dérivées partielles première et seconde sont continues (dite alors de classe $C^1$) est différentaible"
ce qui implique qu'elle soit continue.
Par contraposée, puisque $lim_{t\to 0}f(t^2,t)=\dfrac18\neq 0=f(0,0)$, $f$ n'est pas de classe $C^1$ au voisinage de 0. Donc une dérivée partielle doit être discontinue quelque part au voisinage de 0.
J'ai beau chercher, je ne vois de discontinuité nulle part. Pourvez-vous m'aider ? Merci d'avance.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Il me semble que $\frac{\partial f}{\partial x}(t^2, t)$ n'admet pas de limite quand $t \to 0$.
Glop.
PS : tu veux sans doute dire première et seconde dérivées partielles plutôt que dérivées partielles première et seconde. La terminologie quelque fois... ;-)
Ce qui me trouble en définitive c'est que les première et seconde dérivées partielles (premières !) se calculent en fixant une des variables, mais que la discontinuité ne se trouve qu'en faisant varier simultanément les deux variables sur le chemin $t \to (t^2,t)$. Je cherchais moi sur les chemins $t \to (\alpha,t)$ ou $t \to (t,\beta)$...
Il y a un truc qui m'échappe là-dedans,
j'y retourne immédiatement.
En gros : les dérivées partielles s'obtiennent en fixant une des 2 inconnues, mais restent des fonctions de deux variables...?
C'est exactement ça.
Il a bossé pendant des jours
Tachant avec amour
D'améliorer le modèle...