Différentielles

Pour la première question, tu peux supposer par symétrie que $f$ est une fonction radiale, donc les coordonnées polaires me semblent une bonne idée.

Pour la deuxième question, j'ai l'impression que c'est bon. Pour vérifier, je te conseille de tester avec un exemple de fonctions $f$ et $g$.

Euh non pas vraiment.. comment définirais-tu $f(\sqrt{x^2+y^2})$ alors que $f$ est une fonction à deux variables ? C'est l'inverse : $f(x,y)$ ne dépend que du rayon $r=\sqrt{x^2+y^2}$ de sorte qu'on peut écrire $f(x,y)=F(\sqrt{x^2+y^2})=F(r)$. Reste à connaître l'expression du Laplacien en coordonnées polaires : la connais-tu ? Sinon tu peux la retrouver à la main mais c'est un peu fastidieux, ou la piquer dans un formulaire.

Pas de problème, l'essentiel est qu'on se comprenne de mieux en mieux au cours du temps ! Je pensais que $f$ était à deux variables puisque tu avais écrit $\Delta f =$ une fonction de $x$ et de $y$.

Reprenons tout à zéro. $f$ est une fonction de $r$. On pose $F(x,y)=f(\sqrt{x^2+y^2})$. En passant aux coordonnées polaires on peut donner une expression de $F(x,y)$ en fonction de $r$ et $\theta$ ; attention la fonction à considérer n'est pas $F(r,\theta)$ puisque celle-ci est obtenue en remplaçant $x$ par $r$ et $y$ par $\theta$ dans $F(x,y)$ !!! Ecrivons $F(x,y)=F(r \cos \theta, r \sin \theta)=g(r,\theta)$, d'où $\displaystyle \Delta F (x,y) = \frac{\partial^2 g}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial g}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 g}{\partial \theta^2}$. Comme en fait $g(r,\theta)=f(r)$ par définition de $f$, on obtient un Laplacien égal à $f''(r)+f'(r)/r$ (pas de dérivées partielles puisque comme tu l'as rappelé $f$ est à une seule variable). Donc voilà le Laplacien d'une fonction radiale $F$ (radiale : ne dépendant que de $r$).

Maintenant reste à préciser ta question : que cherches-tu exactement ?

Je vous en prie.