fonction elliptique

ryo · May 2006

Bonjour a tous je me pose des questions de base sur les fonctions elliptiques
On definit l'ordre d'une fonction elliptique par le nombre de zeros qu'elle a dans un parallelogramme de periode $P_\alpha=\{\alpha+s\omega_1+t\omega_2;\,s,t \in [0,1]\}$ mais je n'arrive pas a montrer que l'ordre ne depend pas du parallelogramme choisi
($\omega_1$ et $\omega_2$ etant une base du reseau $\Lambda$ utilise pour definir ma fonction elliptique)
Et j'ai une autre question : l'ordre est-il necessairement fini, autrement dit est-ce qu'une fonction elliptique non nulle peut avoir une infinite de zeros?

fb0 · May 2006

L'ordre ne dépend pas du parallélogramme choisi car la fonction est $\Lambda$-périodique. On peut toujours découper $P_{\alpha}$ en morceaux et en les recollant modulo $\Lambda$ obtenir $P_0$ (remarque : dans la définition du parallélogramme il faut prendre $s,t \in [0,1[$).

L'ordre est nécessairement fini : les zéros d'une fonction holomorphe non nulle sont isolés, donc on ne peut avoir qu'un nombre fini de zéros sur un compact.

ryo · May 2006

Si j'ai bien compris en prenant un parallelogramme quelquonque on peut toujours se ramener au parallelogramme de sommet l'origine? De ce fait plus de probleme pour definir l'ordre.

Par contre pourquoi faut-il enlever $1$ pour $s$ et $t$? Du coup les sommets ne font plus partie du parallelogramme non? (enfin a part un)

Et je n'ai pas compris ton argument pour l'ordre fini : tu marques que les zeros d'une fonction holomorphe sont... mais ici f est meromorphe par definition

fredpaslogué · May 2006

en fait ce n'est pas fraiment un parallélogramme, mais plutôt un tore: on recolle les cotés opposés. C'est à dire que pour une même valeur de $s$, les points de paramètres $t=0$ et $t=1$ coincident.

Bonne soirée

fb0 · May 2006

Il faut prendre $s,t \in [0,1[$ car imaginons qu'il y ait un zéro pour $s=0$, $t=1/2$, alors il serait compté deux fois (aussi pour $s=1$, $t=1/2$)... En fait, c'est plutôt l'ensemble $(\R/\Z)^2$ qu'on considère (le tore); l'ordre est égal au nombre de zéros (compté avec multiplicité) dans cet ensemble.

Pour la deuxième question, tu as raison, une fonction elliptique est seulement méromorphe. Mais le fait que chaque zéro soit isolé reste vrai (c'est facile à voir en considérant le développement local en série de Laurent). D'ailleurs, on a quelque chose de plus fort: l'ensemble des zéros et pôles d'une fonction méromorphe non nulle est toujours constitué de points isolés.

Pour résumer les choses, on peut dire la chose suivante : l'ensemble des zéros et pôles d'une fonction elliptique non nulle est une partie finie de $\C/\Lambda$. ($\Lambda$ est le réseau)

ryo · May 2006

D'accord je vous remercie j'ai saisi la subtilite pour le 1 en trop et j'ai compris l'argument concernant l'ordre

fonction elliptique

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