Calcul d'extremum

benn1 · May 2006

Bonjour, je cherche les extrema locaux de la fonction,
f(x,y)=xy(x²+y²+xy-1).
Le problème que j'ai c'est que je ne vois pas comment résoudre les équations qui me permettent de trouver les points critiques.
A savoir les équations sont :

3x²y + y^3 + 2xy² - y = 0
x^3 + 3xy² + 2x²y - x = 0

Merci

[Ben, conformément à la charte, pas de titre en majuscule ! AD]

Kuja · May 2006

Mettre y en facteur dans la première équation et x en facteur dans la deuxième.
Ceci devrait suffire.

benn1 · May 2006

Désolé pour le titre en Majuscule , Mais après comment faire, je ne vois pas !!!

Kuja · May 2006

Après avoir mis en facteur, on a le système d'équations :

y ( 3x² + 2xy + y² - 1) = 0
x ( 3y² + 2xy + x² - 1) = 0

En toute généralité, on a 4 manières d'annuler les deux membres de gauche simultanément :

- x=0 et y=0

- y=0 et 3y² + 2xy + x² - 1 = 0

- x=0 et 3x² + 2xy + y² - 1 = 0

- 3x² + 2xy + y² - 1 = 0 et 3y² + 2xy + x² - 1 = 0

A vous de finir ...

benn1 · May 2006

Desolé j ariive pas a calculer , c vraiment bizard

ryo · May 2006

En partant du dernier post de Kuja :
- x=0 et y=0 : OK rien a faire

- y=0 et 3y² + 2xy + x² - 1 = 0
Donc en reportant le y=0 dans la deuxieme equation on trouve $x^2-1=0$ donc $x=1$ ou $x=-1$
Donc on recupere ici 2 point critiques : $(1;0)$ et $(-1;0)$

- x=0 et 3x² + 2xy + y² - 1 = 0
Meme technique

- 3x² + 2xy + y² - 1 = 0 et 3y² + 2xy + x² - 1 = 0
En soustrayant les deux equations on trouve : $2(x^2-y^2)=0$ donc $x=y$ ou $x=-y$
Il te reste a reporter dans l'autre equation

benn1 · May 2006

Merci c cool ,je vois mieux !!!

benn1 · May 2006

Et Donc au Final il a bcp de points ?

ryo · May 2006

Ben 1 pour le premier tiret, 2 pour le deuxieme, 2 pour le troisieme et 4 pour le dernier soit 9 en tout

benn1 · May 2006

???????????
9 points c bizard, j'ai pas tres compris le dernier point

ryo · May 2006

Alors avec tous les details :

$3x^2+2xy+y^2-1=0$et $3y^2+2xy+x^2-1=0$
Je soustrait la deuxieme a la premiere : j'obtiens $2(x^2-y^2)=0$ soit $x=y$ ou $x=-y$

Je fais le premier cas en reportent dans la premiere equation l'information $x=y$ : j'obtiens $3x^2+2x^2+x^2-1=0$ soit $6x^2=1$ ie $x=\frac{1}{\sqrt 6}$ ou $x=-\frac{1}{\sqrt 6}$
On a donc 2 points critiques $(\frac{1}{\sqrt 6};\frac{1}{\sqrt 6})$ et $(-\frac{1}{\sqrt 6};-\frac{1}{\sqrt 6})$

On en aura deux autres en faisant le cas $x=-y$ que j'ai la flemme de taper et que je te laisse par consequent faire