équas diff

abed · May 2006

Bonjour,
je bloque sur une equation diff :
$yy''=1+(y')^2$
N'etant pas amateur des "astuces" de resolution d'equa diff, toute remarque me sera utile
Merci

bisam · May 2006

Voici mes premières remarques... même si elles n'aident pas énormément.
Je suppose que ton équation est à valeurs réelles bien que ce ne soit pas précisé.

Soit $y$ une solution à valeurs réelles (s'il en existe une).
1) $y$ ne s'annule jamais ni $y''$.
2) $-y$ est aussi solution, donc on peut se limiter à la recherche de solutions strictement positives (et strictement convexes).

On pose alors $z=\ln\circ y$, donc $y=\exp\circ z$ d'où $y'=z'y$ et $y''=z''y+z'y'=(z''+z'^2)y$.
Donc $yy''=(z''+z'^2)y^2=1+z'^2y^2$
On en déduit que $z''y^2=1$, c'est-à-dire $z''\exp\circ (2z)=1$.

C'est plus joli comme équation mais ce n'est pas tellement plus simple !

AlexB · May 2006

Alors j'ai fait un truc vite fait, mais j'ai l'impression d'avoir glissé sur quelquechose. En tout cas j'ai au moins *des* solutions :
- on divise par $1+{y'}^2$ et on multiplie par $y'$ :
$$\frac{y'y''}{1+{y'}^2}=\frac{y'}{y}$$
- on intègre de chaque côté :
$$ln(\sqrt{1+{y'}^2})=ln(y)+Cte$$
on obtient donc :
$$\frac{1+{y'}^2}{y^2}$$
est constante, donc $\frac{y''}{y}$ l'est aussi.
Les solutions sont donc solution d'une équation différentielle de la forme $y''-ky=0$. Il n'y a plus qu'à trouver ces dernières et substituer (pour touver celles qui sont solution de l'équation de départ).

Ça ne me choquerait pas du tout que quelqu'un trouve une erreur...

Alex.

Yalcin · May 2006

Bonjour
Je ne sais si c'est un bon raisonnement ,mais on peut faire :
yy''=1+(y')² , donc y'y''+yy'''=0+2y'y'' , donc yy'''=y'y''
donc y'''/y''=y'/y,donc ln(y)+c=ln(y'')+c1 , donc ln(y''/y)=c-c1
donc y''/y=constante ,ce qui donne y''-ky=0 (AlexB a raison).
Donc on a : y''=ky , donc on aura des focntions exponentielles.
Et on trouve que $\displaystyle{y(x) = ae^{\sqrt k x} + be^{ - \sqrt k x}}$.
Donc $\displaystyle{y(x) = ae^{cx} + be^{ - cx}}$ avec ${c = \sqrt k }$.

Cordialement Yalcin

AlexB · May 2006

Content de voir que tu arrives à la même chose. Notons que k=0 ou k<0 donnerait des solutions qui ne seraient pas de signe constant, ce qui est éliminé par la remarque de Bisam. Il faut ensuite reporter y=a.exp(cx)+b.exp(-cx) dans l'équation de départ pour savoir à quelles conditions sur a et b on a bien une solution (j'obtiens 4abc^2=1). D'où les solutions :
<BR><P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="237" HEIGHT="50" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/28/88831/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle y(x)=\frac{a}{2c}exp(cx)+\frac{1}{2ac}exp(-cx)$"></DIV><P></P><BR><BR><BR>

bisam · May 2006

Il y a de très bonnes idées dans les 2 réponses précédentes (meilleures que les miennes en tout cas...) mais cela manque de rigueur.

Pour faire vite, je dirais qu'il ne faut surtout pas oublier de remplacer les éventuelles solutions trouvées dans l'équation de départ pour ne garder que celles qui conviennent réellement.

B_J · May 2006

poser $y=1/z$ ==> $(z')^2-1=z"$
puis $t=z'$ ==>$-t'=1-t^2$ ==> $ \frac {-dt}{1-t^2}=dx$ ==>
$-argth(t)=x+C$ ==> $t(x)=-th(x+C)$ d'ou $z$ puis $y$
sauf erreur ....

B_J · May 2006

erreur !!!
desolee !

B_J · May 2006

le chgt de var est bon il donne $-zz"+(z')^2=z^4$ on divise par $zz'$ ==>
$\frac {-z"}{z'} + \frac {z'}{z} = \frac {z^3}{z'} $

Yalcin · May 2006

je trouve la même chose que toi AlexB
au début no, car j'avais a*exp(c*x)+(1/(4*a*c^2))*exp(-c*x)
mais un changement donne la même chose que la focntion que tu as donnée.

bisam · May 2006

Il faut m'excuser pour ma précédente remarque, AlexB, on a posté presque en même temps et je n'avais pas lu ta réponse.

On peut réécrire la solution sous la forme : y(x) = 1/A*ch(Ax+B) où A et B sont des constantes réelles quelconques (A non nul !)

Yalcin · May 2006

oui bisam,c'est plus court comme ça

abed · May 2006

Merci a tous de votre aide, je n'y etais toujours pas arrive ....
En fait, pour ceux que ca interesse, ca permet de montrer que les catenoides sont les seules surfaces de revolutions minimales (a courbure moyenne nulle)

équas diff

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