densité des p/2^n

joss0 · May 2006

bonjour

je voulais juste savoir d'où ça venait que les p/(2^n) (p entier <2^n et n entier evidemment) sont denses dans [0;1]

merci

Le Furet · May 2006

Du fait que tout nombre réel (en particulier entre 0 et 1, mais alors tu imposes à $p$ d'e^tre entre 0 et $2^n$), mais ça marche sur $\R$ en fait) admet un développement en base 2 (binaire). Tu peux remplacer 2 par n'importe quel nombre réel.

nico8 · May 2006

j'aurai plutot dit que ca vient du fait que $\frac{1}{2^n}$ tend vers 0 pour n infini

fb0 · May 2006

Si l'on fixe $n$ et que l'on fait varier $p$, on voit la chose suivante : pour tout $x$ dans l'intervalle $[0,1]$, il existe un nombre de la forme $p/2^n$ tel que $|x-p/2^n| \leq 1/2^{n+1}$. Il suffit ensuite de choisir $n$ assez grand...

P.Fradin · May 2006

On peut dire aussi que $G$, ensemble des réels de la forme $\frac{p}{2^n}$, est un sous-groupe additif de $\mathbb{R}$ et comme la borne inférieure de $G^{*}_+$ est nulle, c'est un sous-groupe dense dans $\mathbb{R}$.

Plus terre à terre: en prenant $n$ tel que $\frac1{2^n}\leq\varepsilon$ et $p=[2^nx]$ (partie entière), alors $|x-\frac{p}{2^n}|\leq \varepsilon$.

joss0 · May 2006

ok ça marche je vois

merci beaucoup

densité des p/2^n

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