opérateur résolvant équa diff ordinaires

Bonjour à tous , c'est encore coincoin : COINCOIN !!!!!!!!!!!!!!!

Je bosse actuellement mon cours d'équations différentielles Ordinaires.
Je n'ai pas bien compris la définition de l'opérateur résolvant dans les équations linéaires homogènes.
J'ai trouvé la définition suivante :

Soit l'équations X'(t)=A(t)X(t) avec X dans Rn et t dans J

Pratiquement, ces équations sont définies par la donnée d'une matrice réelle A(t) qui est interprétée comme dans la représentation dans la base Bo de Rn dont les éléments sont les n vecteurs ei de composante (ei)j=delta i,j , d'un opérateur linéraire sur Rn, noté également A(t).

Voici ce que je lis lol !!

Alors naïvement je pars d'un exemple d'une matrice 2x2
Je ne comprends pas la base qu'ils donnent et les composantes ...
J'ai besoin d'y voir plus clair : en quoi cet opérateur nous est-il pratique ??

Je demande l'aide des grandes forces mathématiques lol
Coincoin