systèmes dynamiques

simoka0 · May 2006

bonjour à tous,
lundi je passe une option appelée (système dynamique) c'est une matière destinée aux math appli non aux maths pures.
auriez vous svp quelques sites proposant des exos (ou cours sur le systmeme dynamique, notamment, la stabilité d'un point, point asymptotique, point asyptotiquement stable, fonction de Lyapounov etc etc,
HELP please

OA1 · May 2006

Salut!

Pour les sites et les exos, désolé mais je ne suis pas très renseigné...
En revanche, j'ai peut-être quelques références bibliographiques:

"Equations différentielles et systèmes dynamiques" Hubbard et West (Cassini).
"Analyse numérique" Demailly (EDP science).

Je ne sais pas si ça te conviendra.

Sylvain · May 2006

Tape "Christophe Letellier" ou "Bruno Maheu" dans google. Ce sont des profs de ma fac, spécialistes du sujet. Des physiciens, certes. Mais si tu veux un vrai matheux, il y a Rachid Kharab (toujours à Rouen). Bonne chance !

Pandemonium · May 2006

Bonjour,
 
 Les polys de P. Manneville
 <a href=" http://www.ladhyx.polytechnique.fr/people/pops"> http://www.ladhyx.polytechnique.fr/people/pops</a>
 sont très bien.
 
 Bonne lecture.
 
 Pandemonium

simoka0 · May 2006

Merci à vous pour ces propositions

simoka0 · May 2006

La panique m'a fait oublié d'avoir déja evoqué le même sujet. Bon c'est pas grave.
j'espere qu'il y en aura qui ont des propositions de solutions avant 13h30

Bonjour,
J'ai exam cet aprem ; et je bloque sur cette question (je ne demande pas la réponse détaillée mais juste les étapes à suivre, quoi calculer ?)

1) En construisant une fonctionnelle de Liapounov de la forme
V(x,y)= a(x²/2)+b(y²/2). Etudier la stabilité du point (0,0) pour
x'=-x-2y²
y'=xy-y²

2) Après avoir linéarisé l'équation différentielle (x"+x-x²) on nous demande de chercher les points d'équilibre (facile jusqu'à maintenant) mais après ils disent : chercher une fonction de Lyapounov pour les points d'équilibre A et B de la forme v(x,y)= 1/2(y²)+g(x) comment fait-on pour chercher cette fonction alors qu'on sait qu'il n'y a pas de méthode pour la chercher.

Merci beaucoup pour votre aide

egoroff · May 2006

Salut,

Pour l'exemple que tu as proposé sur ton fil fermé, à savoir le système :
$x'=-x-2y^2$
$y'=xy-y^2$
avec fonction de Lyapounov à chercher sous la forme $V(x,y)=ax^2/2 + by^2/2$, commence par calculer $V(x,y)'$ (dérivée temporelle) ; si je me souviens bien c'est égal au produit scalaire du gradient de $V$ par le vecteur $(x',y')$ ; tu remplaces ce dernier par son expression en fonction de $x$ et $y$ donnée par le système et tu cherches un voisinage de l'origine sur lequel le résultat obtenu est négatif.

simoka0 · May 2006

C'est le produit scalaire du gradient et du vecteur qui doit être négatif ? Pas le gradient tout seul (car c'est parmi les conditions pour que la fonction soit de Lyapounov).
Et le a et b on ne s'en sert pas ?
Merci pour l'idée

egoroff · May 2006

..bien sûr à condition de choisir des valeurs convenables de $a$ et $b$ ; tu obtiens un système de trois inéquations.

simoka0 · May 2006

C'est ça le problème, quel critère nous permet-on de choisir a et b ??

egoroff · May 2006

Oui, enfin c'est surtout la dérivée de $V(x(t),y(t))$ par rapport au temps $t$ qui doit être négative. La fonction de Liapounov représente une "énergie", strictement positive hors du point d'équilibre et nulle en ce point. Si tu montres qu'elle est décroissante au cours du temps alors tu as montré la stabilité (au sens de Liapounov). D'où le coup de la dérivée négative.

On trouve facilement que $\frac{d}{dt}V(x(t),y(t))=\nabla V \cdot (x'(t),y'(t))$ (dérivée d'une composée). Bien sûr il faut remplacer le $(x'(t),y'(t))$ grâce au système. Comme ici ton gradient vaut $(ax,by)$ tu trouves...

Tu trouves quoi comme points d'équilibre pour $x''+x-x^2$ ?

simoka0 · May 2006

Réelement je n'ai pas cherché les points d'équilibre de x"+x-x² (car je n'ai découvert cette équation qu'il y a 1heure, et je n'ai pas eu le temps de la regarder. D'abord il faut la linéariser et c'est ce que j'essaie de faire maintenant.
Merci infiniment pour ton aide Egoroff, elle m'a sauvé la vie, si ça tombe ce genre d'exo, tu gagnes avec moi un thé à la menthe (je suis specialste

)

Et pour a et b alors, tu ne sais pas ce qu'on peut faire pour les choisir ?

egoroff · May 2006

J'espère qu'il n'est pas trop tard...

Au cas où : je trouve $\frac{d}{dt}V(x,y)=-ax^2-by^3-(2a-b)xy^2$. La condition $V(x,y)> 0$ au voisinage de l'origine impose $a > 0$ et $b > 0$, et pour que $\frac{d}{dt}V(x,y)$ soit négatif au voisinage de l'origine il suffit (enfin je crois.. j'espère que le terme en $y^3$ ne fout pas la m**de) qu'on ait $2a-b > 0$. On peut par exemple choisir $a=2$ et $b=1$.

Je suis chaud pour un thé à la menthe !

systèmes dynamiques

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