singularités d'un champs de vecteur

les points elliptiques et les points hyperboliques, ca a un rapport avec le plan tangent en ce point. Je crois que si au voisinage de x, la surface reste du meme coté du plan tangent , alors le point est elliptique...

"les points elliptiques, points hyperboliques etc... mais je ne sais pas à quoi ce vocabulaire correspond."

Ca correspond au comportement du champ au voisinage de ce point, à savoir qu'il ressemble à point singulier attractif, répulsif, un "noeud col", comme tu les appelles (dans le cas linéaire), etc.

"existe-t-il une méthode générale pour déterminer la nature d'un point singulier dans le cas non linéaire? mon prof m'a parlé de regarder la partie linéaire du champs"

Une méthode générale qui marche dans absolument tous les cas, non. Mais sous des hypothèses raisonnables, le comportement du champ est le même que celui de sa différentielle (l'expression "partie linéaire du champ" n'étant peut-être pas très appropriée). Donc ton prof a raison. C'est le théorème de Grobman-Hartman (peut-être 2 "n" à la fin).

"mais d'un autre coté j'ai vu dans un livre que "les courbes intégrales d'un champs de vecteur quelconque ne ressemblent pas toujours à celles du système linéaire associé"."

Pas toujours, c'est ce que je dis, mais la plupart du temps, si.

Si 0 n'est pas dans l'enveloppe convexe des valeurs propres alors le champ est conjugues a sa partie lineaire, sauf erreur de ma part c'est le thm principal de la these de Poincare. Il a ete etendu par Siegel au cas ou les valeurs propres verifie une condition diophantienne.
M.


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