série de Fourier et équation de convolution
Bonjour à tous ....
Voilà je suis en plein dans l'analyse de Fourier ...
Je travaille sur un ancien sujet et je bloque sur deux exercices ...
Je ne sais pas comment commencer alors j'appelle à la solidarité des mathématiciens pour aider un matheux novice ...
Voici le premier exercice :
Résoudre l'équation de convolution
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-y)*exp(-|y|)dy=exp(-x^2)$
A mon avis, il faut se servir de la transformée de fourier ....
voici le deuxième alors là , à mon avis c'est un exo type qu'il faut savoir faire :
En utilisant les séries de fourier, donner la solution explicite de l'équation de Laplace (d²u/dx²)+(d²u/dy²)= 0 dans le disque x²+y²
Voilà je suis en plein dans l'analyse de Fourier ...
Je travaille sur un ancien sujet et je bloque sur deux exercices ...
Je ne sais pas comment commencer alors j'appelle à la solidarité des mathématiciens pour aider un matheux novice ...
Voici le premier exercice :
Résoudre l'équation de convolution
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-y)*exp(-|y|)dy=exp(-x^2)$
A mon avis, il faut se servir de la transformée de fourier ....
voici le deuxième alors là , à mon avis c'est un exo type qu'il faut savoir faire :
En utilisant les séries de fourier, donner la solution explicite de l'équation de Laplace (d²u/dx²)+(d²u/dy²)= 0 dans le disque x²+y²
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Réponses
est-ce que par $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-y)*exp(-|y|)dy=exp(-x^2)$, tu endends
$(f(y)*exp(-|y|))(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-y).exp(-|y|)dy=exp(-x^2)$ ?
$f*g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t)*g(t) dt$
En posant $g(x)=e^{-|x|}$ et en notant la variable t en y on obtient de ce que j'ai donné : tu confirmes ??
Donc mon équation se ramene à $f*g=exp(-x^2)$
En appliquant la transformation de fourier j'obtiens
$Fourier(f)*\frac{1}{1+E}=\sqrt{\Pi}*exp^{\frac{-E^2}{4}}$
D'ou $Fourier(f)=\sqrt{\Pi}*exp^{\frac{-E^2}{4}}*(1+E)$
Je note E , le ksi je crois ....
Il faudrait que je fasse la transformée inverse de ceci pour retomber sur les pattes ..
Alors Nico t'en penses quoi ??? Freestyle completement faux ou pas ???
Je te remercie encore
Coincoin
du point de vue du raisonnement, j'aurais plutot posé $h=\sqrt{\Pi}*exp^{\frac{-\ksi^2}{4}}*(1+\ksi)$, ensuite en calculant sa transformation de Fourier inverse, c'est plus facile de justifier la formule d'inversion, et enfin justifier qu'on appliquer la transformee de Fourier sur les 2 termes de l'equation de depart, et qu'on peut y revenir par transformation inverse
(apres c'est surement du pinaillage vu que toutes ces fonctions s'integrent sans probleme)
PS : en realite, je te reprochais d'utiliser le meme terme ($*$) pour designer a la fois le produit classique et le produit de convolution, ce qui rend tes messages un peu incomprehensibles
Oui tu as raison excuse moi mais c'est vrai que ma notation portait à confusion !! Mais après un semestre de maple à bien faire attention à mettre * pour que le logiciel comprenne bien la multiplication ... C'est resté lol
Ne t'inquiète pas pour les justifications : le prof est on ne peut plus laxiste lol !!
Comment fais-ton fourier inverse l'exponentielle ?
Coincoin
$$\hat{f}(\xi)=\frac{\sqrt \pi}{2}(1+\xi^2)e^{-\frac{\xi^2}{4}}$$
Et apres on sait(?) que la transformee de Fourier de $e^{x^2}$ est
$\sqrt \pi e^{-\frac{\xi^2}{4}}$
Et pour le $\xi^2 e^{-\frac{\xi^2}{4}}$ on s'en sort en disant que
faire la transformee de Fourier sur la derivee revient a multiplier
par $i \xi$ la transformee de Fourier de la fonction initiale
par contre, de mon cote je trouve comme transformee de fourier de l'equation $\widehat{f(\xi)}\cdot \frac{1}{1+u^2}=\sqrt{\pi}\cdot e^{-\frac{u^2}{4}}$ ou $u=2\pi\xi$, et c'est moins facile tout a coup
<BR>
<BR>je te laisse verifier que <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="224" HEIGHT="35" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/27/88800/cv/img1.png" ALT="$ u(x,y)=\frac{1}{4}\cdot x^3 -\frac{3}{4}\cdot xy^2 +\frac{3}{4}\cdot x$"></SPAN> marche bien :-D<BR><BR><BR>
Ne vous inquiétez, la définition de la transformée de Fourier dans mon cours ne me met pas la constante 2pi dans l'exponentielle ...
Au fait Nico : comment tu trouves ta fonction en te servant de l'analyse de Fourier, je ne me vois pas balancer ça au partiel mdr !!!
Merci à toi encore
Coincoin
$u^3=\cos(\theta)^3$ sur les cercle unite
on developpe $\cos(\theta)^3$ en serie de fourier :
$\cos(\theta)^3=(e^{i\theta}+e^{-i\theta})^3=\frac{1}{8}
(e^{3i\theta}+3e^{i\theta}+3e^{-i\theta}+e^{-3i\theta}$
on considere la fonction
$r^3(e^{3i\theta}+3re^{i\theta}+3re^{-i\theta}+r^3e^{-3i\theta}=\frac{1}{8}
z^3+3z+3\overline z+\overline z^3=\frac{1}{4}u^3-\frac{3}{4}uv^2+\frac{3}{4}u$
elle est bien holomorphe, et verifie les conditions aux limites
c'est dans le cours : probleme de Dirichlet