Equa diff linéaire homogène
Bonjour tout le monde;
Je suis en L3 et j'ai un D.M preparer j'ai reussit a faire qq questions; mais la je bloque sur une.
Voila le probleme:
"Nous voulons montrer, si l'ensemble des solutions est un espace vectoriel, alors l'équation est lineaire homogène."
$x'=F(t,x)$
F est $C^1 de Ix$R^n$ dans $R^n$
On suppose que:
*toutes les solutions maximales de l'equation sont definies sur I un ouvert non vide de R
*L'ensemble S des solutions maximales de l'équation est un espace vectoriel
Nous voulons montrer que $(\phi _1 (t), \ldots, \phi_n (t))$ est une base de S.
En sachant que nous avons deja montré L'existence et lunicité de $\phi$ avec $\phi (t_0) = x_0$ et si la famille $\phi$ est maximale alors les $\phi _i$sont lineairement independants.
En vous remerciant par avance.
Je suis en L3 et j'ai un D.M preparer j'ai reussit a faire qq questions; mais la je bloque sur une.
Voila le probleme:
"Nous voulons montrer, si l'ensemble des solutions est un espace vectoriel, alors l'équation est lineaire homogène."
$x'=F(t,x)$
F est $C^1 de Ix$R^n$ dans $R^n$
On suppose que:
*toutes les solutions maximales de l'equation sont definies sur I un ouvert non vide de R
*L'ensemble S des solutions maximales de l'équation est un espace vectoriel
Nous voulons montrer que $(\phi _1 (t), \ldots, \phi_n (t))$ est une base de S.
En sachant que nous avons deja montré L'existence et lunicité de $\phi$ avec $\phi (t_0) = x_0$ et si la famille $\phi$ est maximale alors les $\phi _i$sont lineairement independants.
En vous remerciant par avance.
Réponses
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Bonjour tout le monde;
Je suis en L3 et j'ai un D.M preparer j'ai reussit a faire qq questions; mais la je bloque sur une.
Voila le probleme:
"Nous voulons montrer, si l'ensemble des solutions est un espace vectoriel, alors l'équation est lineaire homogène."
$x'=F(t,x)$
F est $C^1$ de Ix $R^n$ dans $R^n$
On suppose que:
*toutes les solutions maximales de l'equation sont definies sur I un ouvert non vide de R
*L'ensemble S des solutions maximales de l'équation est un espace vectoriel
Nous voulons montrer que $(\phi _1 (t), \ldots, \phi_n (t))$ est une base de S.
En sachant que nous avons deja montré L'existence et lunicité de $\phi$ avec $\phi (t_0) = x_0$ et si la famille $\phi$ est maximale alors les $\phi _i$sont lineairement independants.
En vous remerciant par avance. -
Salut,
Rien compris à la fin du post. Qui sont les $\varphi_i$ ? Ils sortent d'où ? De quelles hypothèses dispose-t-on pour montrer qu'ils forment une base de $S$ ? -
oui desolé jai oublié de preciser que les $\phi_i$ sont solutions de lequations
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Idée je pense passer par L une fonction de S dans $R^n$ ( ou de $R^n$ dans S ) et démontrer qu elle est bijectif, vue que dans la question precedente on a montré que la famille des $\phi _i$ et lineairement independant cela doit suffir mais je narrive pas a poser ma fonction L correctement; si qq un a une suggestion...
En vous remerciant par avance! -
Pourquoi pas $L(\phi)=(\phi(x_1),...,\phi(x_n))$ avec $x_1 < \cdots < x_n$ par exemple ?
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Cela dit comme tu n'as toujours pas expliqué d'où sortaient les $\phi_i$ on n'avance pas trop...
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Suite aux remarques tout a fait justifiées d egoroff je me permet de dire comment les $\phi_i$ ont été introduit:
"Question 1)
Montrer que pour tout $(t_0,x_0) \in I\ \R^n $ il existe une fonction $\phi$ de $I$ dans $R^n$ qui est solution de l'equation et qui vérifie $\phi(t_0)=x_0$. Cette fonction est-elle unique?"
voila comment la fonction $\phi$ a été introduit je pense que ca devient plus clair enfin j'espère!
Merci d'avance et desole de mon manque de clarté! -
Euh désolé barbsbou, tu vas me prendre pour un gros relou mais.. tu ne dis toujours pas comment tu as obtenu les $\phi_i$ !
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Je suis pas sur de bien comprendre la question comment j'ai construit la fonction $\phi$??
existence: thm de Cauchy-Lipshitz car $F(.,.)$ est $C^1$
unicité: 1 hypothèse toutes les solutions maximales de cette equation sont definies sur I tout entier
Indice supplémentaire pour la question 2)
"On fixe $t_0 \in I$ et on note $\phi_i$ la solution maximale de l'equation verifiant $\phi_i(t_0)=e_i;\ i=1,\ldots,n$ ou $(e_1,\ldots,e_n)$ est la base canonique de $\R^n$. Montrer que pour tout $t \in I$ les vecteurs $\phi_1(t),\ldots,\phi_n(t)$ sont lineairement independants."
Est ce plus clair...
egoroff je ne te prend pas pour un gros relou car tu a la gentillesse de prendre du temps pour me lire et me conseiller...donc pas du tout relou!
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Bonjour!
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