Equivalent + DL

bonjour

l'équivalent en zéro de l'expression 3x².sinx est bien 3x^3
(c'est toi qui as raison)

si on te demande le signe d'une expression en x, tu ne vas pas répondre avec une valeur numérique;
tu vas faire un tableau de variation de cette expression et déterminer son signe suivant les valeurs de x

ton expression peut s'écrire [3tanx - 3/x + x]/3x

elle est impaire en x et on va se contenter de l'intervalle 0 < x < pi/2

tu traces les deux courbes représentant 3.tanx et (3/x - x)

la différence est négative jusqu'à une valeur a de x proche de pi/4 puis elle devient positive

au voisinage de 0 à droite ton expression est négative, positive pour 0 à gauche

cordialement

Après quelques calculs, on arrive à montrer que $$\frac{\cos(x)}{x\sin(x)}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{3}=-\frac{x^2}{45}+o(x^3)$$ donc le signe cherché est négatif.
On peut simplifier les calculs en utilisant la parité d'une part et si on connaît par coeur le DL de tan(x) jusqu'à l'ordre voulu (ici l'ordre 3 suffit à conclure)