convergence uniforme de zeta

amelie6 · May 2006

bonjour, je sais que ma question va vous paraître stupide mais je galère pour montrer un truc bête, c'est ça le pire !!
J'étudie zeta de Riemann, (série des n^-s pour s complexe)
J'ai réussi à montrer que zeta(1+it) non nul mais je misère pour montrer que zeta converge uniformément sur tout compact !! Et oui j'arrive à faire le "compliqué" et pas le "simple" cherchez l'erreur ...
En fait c'est au niveau de la rédaction que je galère...
Alors un petit coup de main serait le bienvenu…
Merci

Toto.le.zero · May 2006

Suppose que ton compact est une boule fermée par exemple si ça peut t'aider.

ryo · May 2006

Je pense que tu veux montrer que la serie de terme general $\frac{1}{n^s}$ converge unformement sur tout compact de $U=\{s \in \C|Re(s)>1\}$

Deja il est beaucoup plus simple de montrer que la serie converge normalement sur tout compact de $U$
Tu prend un compact de $U$ qu'on note $K$
Alors il existe $\delta>1$ tel que $Re(s) \geq \delta>1$
Je te laisse finir

Le Furet · May 2006

Tu voudrais démontrer que ça converge uniformément sur tout compact de quoi ? Si c'est de $\{z|\Re(z)>1\}$, alors Ryo a raison, ça n'est pas bien difficile. Tu montre que pour tout $\sigma>1$, la série définissant $\zeta$ converge pour tout $z$ tel que $\Re(z)\geq \sigma$ (car alors $\left|\dfrac{1}{n^z}\right| \leq \dfrac 1{n^\sigma}$, dont la série converge).

Mais peut-être as-tu besoin de la convergence sur tout compact dans $\C\setminus\{1\}$ ou dans $\{z|\Re(z)>0, z\not=1\}$. Dans ce cas il te faut une autre expression de $\zeta$, par exemple la version produit eulérien ou par la série "alternée" $\xi(z)=\sum (-1)^n/n^z$.

borde · May 2006

Je suis quand même étonné de voir que l'on puisse être capable de démontrer que $\zeta(1 + it) \not = 0$ (pour tout $t \in \R$), ce qui, rappelons-le, implique quasiment le TNP (voir Hadamard et de La Vallée Poussin) et est donc d'un niveau au moins DEA (voire plus, si l'on cherche vraiment à redémontrer, à partir d'une page blanche, un tel résultat hautement non trivial), et ne pas pouvoir vérifier la convergence uniforme de $\zeta$ dans le demi-plan $\sigma > 1$ !!...

Borde.

ryo · May 2006

Je n'aime pas te contredire Borde mais vu que c'est plus pour du pinaillage je vais le faire.
J'ai eu a demontrer dans un exo cette annee que $\zeta$ ne s'annulait pas sur la droite $\{s \in \C|Re(s)=1\}$, donc en maitrise et non pas en DEA ou +.
Bon il y avait un paquet de quetions intermediaires et meme avec ca c'etait difficile

Mais peut-etre que comme le suggere Le furet je n'ai pas pris le bon domaine et la c'est surement plus complique

borde · May 2006

En ce qui me concerne, j'ai appris ce théorème en DEA (voir le livre de Tenenbaum).

Ce résultat est conjointement dû à Hadamard et de La Vallée Poussin, qui l'ont montré indépendamment l'un de l'autre par deux méthodes différentes...Mais introuvables par un étudiant n'ayant pratiquement jamais eu à traiter de problèmes d'analyse complexe de ce niveau, ce qui est quand même assez fréquemment le cas.

Alors, certes, le DEA va plus loin, puisque l'on obtient une région sans zéro de $\zeta$ équivalente à celle obtenue par Hadamard et de La Vallée Poussin. Ceci dit, l'exercice est très difficile, même en DEA. Sans mes notes de cours sous les yeux, je ne redémontrerais pas comme cela la non-annulation de $\zeta$ sur l'axe $\sigma = 1$.

Maintenant, bien guidé, on peut en effet concevoir un exercice M1 dont l'objectif serait ce résultat. Note que nous ne nous contredisons pas vraiment, car c'est l'objet de beaucoup d'exercices de mathématiques de préparer le niveau supérieur (par exemple, en arithmétique de terminale S, il y a pas mal d'exercices utilisant la notion {\it d'ordre} d'un élément modulo un nombre premier $p$ ou même un entier $n$, notion que l'on apprend dans le supérieur).

Borde.

Le Furet · May 2006

J'ai appris ce résultat (et beaucoup d'autres sur la fonction $\zeta$) en suivant le cours de Maîtrise de Fouvry à Orsay (un très bon souvenir d'ailleurs, même si ce cours était trop... court, et l'examen un peu tiré par les cheveux - il y avait notamment un nombre dont tout le monde pensait qu'il était premier alors qu'en fait il était divisible par 43).