convergence uniforme de zeta
bonjour, je sais que ma question va vous paraître stupide mais je galère pour montrer un truc bête, c'est ça le pire !!
J'étudie zeta de Riemann, (série des n^-s pour s complexe)
J'ai réussi à montrer que zeta(1+it) non nul mais je misère pour montrer que zeta converge uniformément sur tout compact !! Et oui j'arrive à faire le "compliqué" et pas le "simple" cherchez l'erreur ...
En fait c'est au niveau de la rédaction que je galère...
Alors un petit coup de main serait le bienvenu…
Merci
J'étudie zeta de Riemann, (série des n^-s pour s complexe)
J'ai réussi à montrer que zeta(1+it) non nul mais je misère pour montrer que zeta converge uniformément sur tout compact !! Et oui j'arrive à faire le "compliqué" et pas le "simple" cherchez l'erreur ...
En fait c'est au niveau de la rédaction que je galère...
Alors un petit coup de main serait le bienvenu…
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Réponses
Deja il est beaucoup plus simple de montrer que la serie converge normalement sur tout compact de $U$
Tu prend un compact de $U$ qu'on note $K$
Alors il existe $\delta>1$ tel que $Re(s) \geq \delta>1$
Je te laisse finir
Mais peut-être as-tu besoin de la convergence sur tout compact dans $\C\setminus\{1\}$ ou dans $\{z|\Re(z)>0, z\not=1\}$. Dans ce cas il te faut une autre expression de $\zeta$, par exemple la version produit eulérien ou par la série "alternée" $\xi(z)=\sum (-1)^n/n^z$.
Borde.
J'ai eu a demontrer dans un exo cette annee que $\zeta$ ne s'annulait pas sur la droite $\{s \in \C|Re(s)=1\}$, donc en maitrise et non pas en DEA ou +.
Bon il y avait un paquet de quetions intermediaires et meme avec ca c'etait difficile
Mais peut-etre que comme le suggere Le furet je n'ai pas pris le bon domaine et la c'est surement plus complique
Ce résultat est conjointement dû à Hadamard et de La Vallée Poussin, qui l'ont montré indépendamment l'un de l'autre par deux méthodes différentes...Mais introuvables par un étudiant n'ayant pratiquement jamais eu à traiter de problèmes d'analyse complexe de ce niveau, ce qui est quand même assez fréquemment le cas.
Alors, certes, le DEA va plus loin, puisque l'on obtient une région sans zéro de $\zeta$ équivalente à celle obtenue par Hadamard et de La Vallée Poussin. Ceci dit, l'exercice est très difficile, même en DEA. Sans mes notes de cours sous les yeux, je ne redémontrerais pas comme cela la non-annulation de $\zeta$ sur l'axe $\sigma = 1$.
Maintenant, bien guidé, on peut en effet concevoir un exercice M1 dont l'objectif serait ce résultat. Note que nous ne nous contredisons pas vraiment, car c'est l'objet de beaucoup d'exercices de mathématiques de préparer le niveau supérieur (par exemple, en arithmétique de terminale S, il y a pas mal d'exercices utilisant la notion {\it d'ordre} d'un élément modulo un nombre premier $p$ ou même un entier $n$, notion que l'on apprend dans le supérieur).
Borde.
Borde.