Trouver une primitive

par parties ( apres le chgt de var $t=x-2$ )
mais le resultat contient $arcsin(x-2)$

Calculons d'abord $\displaystyle \int \sqrt{1-x^2}dx$.

1ere méthode :
On effectue le changement de variable : $u=Arcsin x$, donc : $x=sin u$ et $dx=cos u du$. De plus : $\displaystyle \sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-sin^2u}=\sqrt{cos^2u}=cos u$, en supposant se placer sur un intervalle où le cosinus est positif, sinon un $-$ apparaîtrait (tu peux toujours envisager un tel cas si tu veux un résultat qui prenne en compte tous les cas de figure).
On a donc : $\displaystyle \int \sqrt{1-x^2}dx=\int cos^2u du=\int \frac{1+cos(2u)}{2}=\frac{u}{2}+\frac{1}{4}sin(2u)=\frac{u}{2}+\frac{1}{4}(2sin u cos u)=\frac{u}{2}+\frac{1}{2}sin u \sqrt{1-sin^2u}$.

Soit finalement : $\displaystyle \int \sqrt{1-x^2}dx=\frac{1}{2}Arcsin x+\frac{1}{2}x \sqrt{1-x^2}$.

2eme méthode :
On effectue une IPP (en intégrant $1$) :
$\displaystyle \int \sqrt{1-x^2}dx=x \sqrt{1-x^2}-\int \frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=x \sqrt{1-x^2}-\int \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx+\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=x \sqrt{1-x^2}+Arcsin x-\int \sqrt{1-x^2}dx$.

Ainsi : $\displaystyle 2\int \sqrt{1-x^2}dx=x \sqrt{1-x^2}+Arcsin x$.
On retrouve donc le résultat de le 1ere méthode (heureusement) ; l'avantage de cette méthode est qu'il n'y a aucune condition sur le signe de $cos u$ c'est-à-dire en fait sur l'intervalle où varie $x$.

On calcule maintenant : $\displaystyle \int x \sqrt{1-x^2}dx$.

Cette intégrale est en fait du type : $\displaystyle \int u'(x)u(x)dx$, donc : $\displaystyle \int x\sqrt{1-x^2}dx=\frac{-1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}$.

On peut alors calculer ton intégrale de départ.
On effectue le changement de variable : $t=x-2$, on a alors :
$\displaystyle \int x\sqrt{1-(x-2)^2}dx= \int (t+2)\sqrt{1-t^2}dt=2\int \sqrt{1-t^2}dt+\int t \sqrt{1-t^2}dx$.

Ainsi, d'après les résultats précédents, on obtient : $\displaystyle \int x \sqrt{1-(x-2)^2}dx=t \sqrt{1-t^2}+Arcsin t-\frac{1}{3}(1-t^2)^{\frac{3}{2}}$.

Soit finalement : $\displaystyle \int x\sqrt{1-(x-2)^2}dx=(x-2) \sqrt{1-(x-2)^2}+Arcsin(x-2)-\frac{1}{3}(1-(x-2)^2)^{\frac{3}{2}}$.

Voilà, sauf erreur.

Perso, je m'étais déjà "amusé" à calculer les intégrales : $\displaystyle \int x^n \sqrt{1+x^2}dx$ (comme la tienne mais avec un plus dans la racine et un exposant quelconque sur $x$), on obtiens des formules assez énormes...

C'est une intégrale abélienne, on peut poser (x-2)=sin(t), à la louche on a

sqrt(1-(x-2)²)=cos(t)et on se ramène à une primitive de

(2+sin(t)).cos(t).cos(t) soit 2cos²(t)+sin(t).cos²(t) ce qui donne

1+cos(2t)+sin(t).cos²(t) soit enfin


t + sin(2t)/2 + cos³(t)/3

avec t= arcsin(x-2) et x dans ]1,3[